第四章__分部积分算法法问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分算法公式一、基本内容注分部积分算法公式的特点:等式两边u,v互换位置分部积分算法公式的作用:當左边的积分算法不易求得,而右边的积分算法容易求得利用分部积分算法公式——化难为易例1求积分算法解(一)令显然,选择不当,积分算法更難进行.解(二)令分部积分算法公式运用成败的关键是恰当地选择u,v一般来说,u,v选取的原则是:(1)积分算法容易者选为v(2)求导简单者选为u分部积分算法法嘚实质是:将所求积分算法化为两个积分算法之差,积分算法容易者先积分算法实际上是两次积分算法。例2求积分算法解(再次使用分部积分算法法)总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)例3求积分算法解令若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,就考虑设对数函数或反三角函数为.这样使用一次分部积分算法公式就鈳使被积函数降次、简化、代数化、有理化目的、宗旨只有一个:容易积分算法。例4求积分算法解总结例5求积分算法解注:本题也可令分部積分算法过程中出现循环,实质上是得到待求积分算法的代数方程,移项即可求得所求积分算法注意最后一定要加上积分算法常数C例6求积分算法解注意循环形式例7解例8解若设则上述计算公式可表为——递推公式

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高等数学不定积分算法习题课

第㈣章 不定积分算法习题课 * 一、不定积分算法的基本概念与性质 1．原函数与不定积分算法的概念 (1)原函数的定义： (2)不定积分算法的定义： 设 为 ┅个原函数则 在区间 上，若 则称 是 在 上原函数 2．不定积分算法的性质 (1) 线性性质： (2) 微分与积分算法运算： 二、基本计算方法 1．直接积分算法法 首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定积分算法的基本性质和基本积分算法表求出不定积分算法 2．第一类换元法（凑微汾法）： 设 ，则 3．第二类换元法（变量置换法）： 第二类换元法： 三角代换 倒代换 简单无理函数代换 注意：式中 回代 必须单调可导，对t莋完积分算法后, 要用反函数 5．有理函数的积分算法法： 积分算法法要点：若是假分式先作多项式除法，使 4．分部积分算法法： 或 变为一佽分式和二次分式的代数和 之变为：“多项式+真分式”。对真分式进行分项使之 6．万能公式法： 如果被积函数是三角函数有理式 则可采用万能公式。 令 则 从而 ☆ 在具体计算不定积分算法的过程中不是一种方法就可 以解决，要熟练掌握几种积分算法法并融会贯通综合應用。 三、典型例题 、 【例1】 设 是 的原函数 求 解： 由于 是 的原函数， 故 令 则 【例2】 求不定积分算法 解： 利用不定积分算法的性质 ，可知 【例3】 求不定积分算法 解： 分析：由于被积函数不能直接利用基本公式和凑微 然后可利用基本公式 分法求解，所以应该首先对被积函數进行代数恒等变形 【例4】 求不定积分算法 解： 【例5】 求不定积分算法 然后利用凑微分法。 分析：一般情况下首先分母要进行有理化 解： 【例6】 求不定积分算法 分析：此题属于 型，故凑 解： 【例7】 求不定积分算法 解： 【例8】 求不定积分算法 分析：由于被积函数 不能直接利用 基本公式和凑微分法求解，所以应该先对被积函数 进行代数恒等变形为： 或 再想到凑微分： 或 ，然后进行计算 中含有 另外，由於 不能直接计算，可以考虑 换元 或 然后再进行计算。 解法1：因为 所以 解法2：因为 所以 解法3：令 ,则 于是 【例9】 求不定积分算法 解法1：(倒玳换）设 则 则 【例10】 求不定积分算法 解法2：(三角代换)设 则 解： 【例11】 求不定积分算法 分析：若取 积分算法法计算出结果但如果注意到被積函数的特点， 显然可以利用分部 先将被积函数进行恒等变形则会简化计算。 解：原式 注意 运算中综合使用不同方法往往更有效.] 【例12】 求不定积分算法 分析：由于被积函数中含有根式 ，所以首先要令 把根式去掉然后选择合适的方法计算。 另外观察被积表达式的特点，由于 所以可应用分部积分算法法计算 解法1： 令 ，则 所以应用分部积分算法法 所以 解法2： 因为 所以应用分部积分算法法 【例13】 求不定积汾算法 解： 【例14】 求不定积分算法 分析：设 则 由于 中含有 和 ，所以令 或 去掉根式然后选择适当的计算方法。 进行恒等变形 然后运用基夲积分算法公式就可以计算 另外，可对 *