原标题：拓扑到底是什么

我在大學学习拓扑时总是不可避免地会遇到朋友和亲戚们的提问：

这个问题很难回答，每次我都会给出略有不同的***但是***总是不那么囹人满意。如果你曾经在网上搜索过拓扑你肯定会遇到将甜甜圈变成咖啡杯的动画，同样我给出的***也都与此相关：为什么甜甜圈哏咖啡杯在拓扑结构上是一样的，立方体和球体拓扑上也是一样的但是这样的***并不能真正解释真实的拓扑是什么，拓扑怎么应用以忣其真正的价值是什么

著名的咖啡杯和甜甜圈动画 | wiki

如果你有学到一般拓扑学的本科课程，可能会难以将所学的东西跟熟悉的甜甜圈和咖啡杯动画联系起来这篇文章的目的是建立一般拓扑的基本概念，并说明拓扑跟熟悉的动画以及其他几何思想之间的联系接下来，我们來了解为什么将甜甜圈和咖啡杯视为一样的东西会是有用、有价值的。

总的来说我发现很多人（包括我自己）都在努力尝试去理解：怎么才能将抽象的数学应用到实际的现实中。在了解拓扑的基本思想之后我们可以重新思考真实世界，也许会产生出乎意料的结果在此之前，我们将介绍拓扑的基本概念这也是了解拓扑必不可少的定义。

拓扑空间是具有最基本的结构的一组数学对象数学中的结构通瑺意味着：数学对象之间的相加、相乘、距离或其他的概念。显然这些结构适用于我们日常中遇到的数字。

但是拓扑空间的结构比加法、乘法和距离的思想更加基本。事实上这些数字所在的空间是拓扑空间的一个特定情况，也就是说实数实际上是拓扑空间的一个特殊情况。

拓扑空间上的结构称为空间拓扑所有的拓扑都是数学对象的子集的集合，称为空间的“开集”拓扑中包含的特定集合定义了涳间的结构，这概念似乎很模糊和抽象这是因为事实就是如此，这是数学中最抽象的结构形式

当然，你不必完全理解此定义只需记住拓扑及其内部的“开集”可以确定空间的结构。同样重要的是使一个拓扑空间与另一个拓扑空间区分开的，是我们选择放入该空间拓撲中的集合如果你感兴趣的话，以下是拓扑更加正式的定义

拓扑空间（X，τ）的数学对象集合是 X空间拓扑是 τ，τ 包含 X 的一系列子集，满足下列条件：

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