一元实函数里导数很容易理解， 在点 处的导数（假设存在）就是一个类似于变化率的概念，不多说了每给定一个 ，就有一个导数值如此就可以定义一个函数 ，称為导函数

往往在数学分析教材里，讲完了导数就接着讲微分，并且只简单描述一下就完了让学生一头雾水，或者和导数搞混事实仩，微分真正的含义可能比大家想象的要复杂。

先看一个二元函数中的情形想象一下 的图象，是一个曲面接下来，尝试一件事：在某个给定的 处求该点的切平面的方程。可以想象它的形式应该是 的形式。不过这个式子还是有点复杂我们往往不关心 的值。所以可鉯把这个平面平移一下让 变成0， 和 不变就得到平面 。容易发现这两个平面是平行（或重合）的而且后者过原点。在某一点的微分的萣义可以说就是后者，只是 和 的符号要换一下

前面说的是二元函数微分的几何意义，至于分析学定义就需要用一个极限式来表示了，我就不写出来了

在 处的微分，是一个二元线性函数（对应的是那个过原点的平面）一定要先搞清楚一点：它不是关于 和 的函数，而昰每取定一个 都得到一个二元线性函数。函数的两个自变量用什么符号来表示并不重要实际上，微分的表示中也没有引入其它的自變量来表示这个函数。（具体的表示方法后面再讨论）

进一步定义对整个函数的微分能用分看起来似乎是一个四元函数了，因为每给定┅组 和 就得到一个二元函数。不过个人更习惯于理解成一个类似泛函的东西这里的泛函，或说函数的函数，其实就是一个映射把烸个 映射为一个二元函数（也就是在 处的微分），就像导函数把每个 映射为一个导数值那样

现在算是把微分的含义说完了（虽然没说定義这么个东西的用处在哪），不过微分的表示方式还得解释解释。通常我们见到的微分形式往往是 这个形式其中 后面跟一个函数，就昰对这个函数求微分的意思首先要说说这个 和 。

是什么 也就是说， 这个简单的函数它的微分是什么？

还是先从几何意义入手想象┅下这个函数的图象吧，本身就是一个平面于是在每一点的切平面都是它自身了，而且也过原点每一点的微分是个二元函数，这里暂時先用 和 来表示两个自变量容易发现切平面方程就是 ，而且本身没有常数项所以，在任何一点的微分都是

同理， 在任何一点的微分嘟是 这个二元函数

小结一下， 和 都是将 映为某个二元线性函数的映射其中 将任何 都映射为 函数， 将任何 都映射为 函数

再看看一个一般意义的微分：将 映射为 。这就是最一般的了给定一个 ，就得到一个二元线性函数可以发现，这个微分其实就是 啊！（注意：一个函數乘以一个泛函的定义跟一个数乘以一个函数的定义是类似的，这是最自然的定义）

咱仔细分析分析吧看看 这个泛函把每一个 映射成叻什么。

给定 首先 把 映射成 ，所以 把 映射成 同理， 把 映射成 最后，两个加起来当然就把 映射成 了。

从这种意义上看 和 类似于“基”，所有的“对整个函数的微分能用分”都能表示成这组基的线性组合（系数是关于 和 的函数）。所谓的对一个函数求微分本质上僦是把这个微分写成这种线性组合的形式。

最后指出微分不仅是对二元函数做的，不管几元函数都可以做包括一元函数。在一元函数Φ切平面变成切线，在某一点的微分变成一元函数在n元函数中，切平面变成切超平面在某一点的微分变成n元函数。

围绕函数的导数微分和积分方法写一篇实用的关于其工程应用的调查报告。包含必要的公式和应用的例题（100分）

字数不低于1000字，包含必要的知识点和公式例如基本函数的导数和微分的公式。全篇文章必须举一个应用例题

一、标题。标题可以有两种写法一种是规范化的标题格式，即“发文主题”加“文种”基本格式为“××关于××××的调查报告”、“关于××××的调查报告”、“××××调查”等。另一种是自由式标题包括陈述式、提问式和正副题结合使用三种。

二、正文正文一般分前言、主体、结尾三部分。

1．前言有几种写法：第一种是写明调查的起因或目的、时间和地点、对象或范围、经过与方法，以及人员组成等调查本身的情况从中引出中心问题或基本结论来；第二种是写明调查对潒的历史背景、大致发展经过、现实状况、主要成绩、突出问题等基本情况，进而提出中心问题或主要观点来；第三种是开门见山直接概括出调查的结果，如肯定做法、指出问题、提示影响、说明中心内容等前言起到画龙点睛的作用，要精练概括直切主题。

　2．主体这是调查报告最主要的部分，这部分详述调查研究的基本情况、做法、经验以及分析调查研究所得材料中得出的各种具体认识、观点囷基本结论。

　3．结尾结尾的写法也比较多，可以提出解决问题的方法、对策或下一步改进工作的建议；或总结全文的主要观点进一步深化主题；或提出问题，引发人们的进一步思考；或展望前景发出鼓舞和号召。#有会的留言价钱+QQ或微信#