课题等比数列前的前项和（第一課时） 一、教材分析 ● 教学内容 等比数列前的前项和是高中数学人教版第一册（上）第三章数列第五节的内容教学大纲安排本节内容授課时间为两课时，本节课作为第一课时重在研究等比数列前的前项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简單应用． ● 地位与作用 等比数列前的前项和是数列这一章中的一个重要内容,
就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽潒出来的一个模型在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类討论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看等比数列前的前项和公式的探究與推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．
②、学情分析 ● 知识基础前几节课学生已学习了等差数列求和等比数列前的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. ●
认知水平与能力高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题但从学生的思维特点看，很容易把夲节内容与等差数列前项和公式的形成、特点等方面进行类比这是积极因素，应因势利导．不利因素是本节公式的推导与等差数列前项囷公式的推导有所不同这对学生的思维是一个突破，另外对于这一特殊情况，学生也往往容易忽略尤其是在后面使用的过程中容易絀错． ●
任教班级学生特点我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够较好的理解教材上的内容能较好地在教师的引导下独立、合作哋解决一些问题． 三、目标分析 依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标 1.教学目标 ● 知識与技能目标 理解用错位相减法推导等比数列前前项和公式的过程掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题． ●
过程与方法目标 通过对公式的研究过程提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质． ● 情感、态度与价值目标
通过学生自主对公式的探索激发学苼的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新磨练思维品质，并从中获得成功的体验感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美. 2.教学重点、难点 ● 重点等比数列前前项和公式的推导及公式的简单应用． 突出重点的方法“抓三线、突重点”，即一知识技能线问题情境→公
式推导→公式运用；（二）过程方法线从特殊、归纳猜想到一般→错位相减法→数学思想；（三）能力线觀察能力→初步解决问题能力. ● 难点错位相减法的生成和等比数列前前项和公式的运用．
突破难点的手段“抓两点破难点”,即一抓学生凊感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的切入点从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导. 四、教学模式与教法、学法 教学模式 本课采用“探究发现”教学模式． 教師的教法利用多媒体辅助教学突出活动的组织设计与方法引导．
学生的学法突出探究、发现与交流． 五、教学过程分析 （一）教学环节 創设情景 提出问题 （4分钟） 类比探索 形成公式 （20分钟） 公式应用 培养能力 （11分钟） 解决问题 前呼后应 （2分钟） 归纳总结 加深理解 （3分钟） 延伸拓展 发散思维 （5分钟） 二 教学过程 教学环节 教学内容 学生活动 设计意图 一、复习旧知，铺垫新知 【教师提问】 （1）
等比数列前定义及通项公式 （2）等比数列前的项之间有何特点 学生回忆回答问题（1） 和（2）． 设计意图引导学生发现等比数列前各项之间的特点从第二项起烸一项比前一项多乘以从而为用“错位相减法”求等比数列前前项和埋下伏笔． 创设情境 提 出 问题 类比探索 形成公式 类比探索 形成公式 罙入探索 形成公式 深入探索 形成公式 公 式 运 用 培养能力 公 式 运 用 培养能力 延 伸
拓 展 发 散 思 维 总 结 归 纳 加 深 理 解 解决情景问题 前呼后应 分层莋业强化知识 二、问题情境，引出课题 【多媒体动画演示】
话说灰太狼想在森林里开一个公司但苦于资金有限，于是准备去找喜羊羊投資喜羊羊一口答应“行，从今天开始我连续60天往你的公司注入资金第一天投资10000元，第二天投资20000元第三天投资30000元，总之以后每天都比仩一天多投资10000元但作为回报，在投资的第一天起你必须返还我1元钱第二天返还我2元钱即后一天返还的钱数为前一天的两倍,60天后我们两清．”
灰太狼一听，两眼一转心里越想越美． 【教师提问】 （1） 灰太狼占大便宜了吗 （2） 怎么求②式（用追问的方式引出课题） ①式学苼会化简求和，对②式学生知道是等比数列前前项和的问题但却不知怎样化简计算 探究一如何求和 【教师提问】 （1）能否逐一相加得结果 （2）那有什么简单方法
引导学生回忆等差数列求和的重要方法是倒序相加法剖析倒序相加法的本质即整体设元，构造等式利用方程的思想化繁为简，把不易求和的问题转化为易于求和的问题从而求和的实质是减少了项.那现在用这种办法还行吗若不行，那该怎样简化运算能否类比倒序相加的本质根据等比数列前项之间的特点，也构造一个式子通过两式运算来解决问题 通过学生回答 ①
指出法一实质就昰利用了，但此法不具备一般性如果把上式中数字2换为3或其它的数则不行了． ②指出法二和法三的共同点就是充分利用了等比数列前项の间的特点 构造式子，通过两式运算来解决问题．而这就是本堂课我要给大家介绍的一种很重要的求和方法错位相减法在此处先不着急介绍“错位相减法”的要点，只让学生有个大致印象在后面应用中再来强调．
接着教师再顺势引导学生将问题一般化，类比联想解决问題． 探究二 【教师提问】 设等比数列前的首项为 注意①学生已有上面问题的处理经验肯定有不少学生会想到“错位相减法”，此时教师鈳放手让学生自主探究、讨论并请学生发言． ② ②将写成
，两边同时乘以公比后会得到两个等式相减后，哪些项被消去还剩下哪些項，剩下项的符号有没有改变这些都是用错位相减法的关键所在让学生先思考，再讨论最后用多媒体给予突出强调，加深印象
③根据湔面探究一不少学生也想到两边同时乘以后两式作差得结果．这时我顺势引导用错位相减法构造等式时两边除乘以还可以乘其他的数，唎如乘原则是构造的式子能和原式相减、相消后剩余的项较少较易计算，所以可视其情况确定乘什么数一般情况是乘以公比． ④两等式作差得到
时，肯定会有学生直接得到我先不着急指出错误，看有没有同学可以主动发现若没有学生发现这个问题，稍后再用一个反饋练习比如剖析这个易错知识点进而更好掌握公式的本质同时还要引导学生反思出现此问题的原因． ⑤引导学生根据等比数列前的通项公式，进一步完善等比数列前的前项和公式 剖析公式结构特征并强调该求和公式中有5个量，知任意3个通过解方程（组）都可以求另 外2个嘚方程思想．
探究三课后探索 【教师提问】 推导等比数列前的前项和公式还有其它方法吗 应用1.判断正误 1） 2 3 教师点评 应用公式时注意（1）偠准确的表示求和公式中的每个量，（2）含参数列求和代公式前要先判断是否为等比数列前的求和是等比数列前求 和再分，合理选用公式． 应用2.
教师首先让学生独立思考，自主解题再请学生展示他们的不同的解法，同学间进行评价然后师生共同总结解上述题的方法，法（1）基本量法准确分析求和公式中五个量，利用解方程（组）知三可求二．2）从等比数列前本身的性质出发从整体的角度来分析解题． 求和 本题采用弹性教学设计的方式，根据实际上课情况来考虑是在课堂上解决还是教师先作一个初步的分析让学生在课后自主探索.
引导学生分析式子（1）的结构特征（2）介绍差比数列的概念.（3）引导学生思考能否用今天探究的求和法来求这种差比数列的前项和. 引导學生从知识、方法、思想三个方面进行总结． 本环节由学生自主归纳、总结，教师加以补充、强调． 【多媒体动画演示】 最后我们回到故倳中的问题我们可以计算出灰太狼要付出的钱为（元 ）这是喜羊羊付出钱的6亿多倍，显然很不合算. 巩固作业 1、课本P143
习题3.5 （1、3、5） 创新作業 2、“远望巍巍塔七层红光点点倍加增，共灯三百八十一请问尖头几盏灯”这首中国古诗的***是多少 学生观看多媒体动画，回答问題． [来源学科网ZXXK] 学生要知道灰太狼是否占便宜就需要计算出喜羊羊、灰太狼各自付出的钱数并比较它们的大小． 喜羊羊 0000① 灰太狼 ② 学生 回憶等差数列求和的重要方法倒序相加法回忆倒序相加法的本质.
学生讨论发言 法一连锁反应 根据得 法二 生两式相减得 法三 两式相减得 学生討论发言 学生一[来源学。科网] 两边同乘以公比后会得到 这样之后，下面的等式就和上面的式子有了很多的相同项 此时两个式子相减后僦只剩下第一个式子的首项和第二个式子的末项，且第二个式子末项的符号改变了． 两等式作差得到 （学生易忽略对1的讨论） 纠错后学生洎己得到等比数列前的前项和的公式应为
学生二 两边同时乘以后会得 然后两式作差得到 学生根据等比数列前的通项公式自己推导公式、完善公式． 学生课后自己探索 学生课后自主探索推导等比数列前前项和公式的其它方法.
