线性代数矩阵运算例题求解

www.gotaobaowang.com    2020-03-30    标签：线性代数矩阵定义

这种乘法完全可以心算还需要什么技巧

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第二节基本运算定义运算规则矩阵运用的例在定义矩阵运算之前在定义矩阵運算之前，先规定矩阵相等的含义先规定矩阵相等的含义。定义（矩阵相等）矩阵相等）两个矩阵A=(aij),B=(bij)为同型矩阵,并且对应元素相等,即aij=bij(i=1,2,?,m;j=1,2,?,n),則称矩阵则称矩阵A与B相等,记作A=B.一、数与矩阵相乘1定义（矩阵的数乘）例如若?482?A=???6810?数λ与矩阵A=(aij)规定为m×n的乘积记作λA或Aλ,?λa1n???λa2n?.?????λamn??则1?241?A=??2?345??12246?3A=???162430??λa11λa12??λa21λa22λA=Aλ=?????λaam1λ?m1显然显然，对于数0和1及任意的矩阵A有0A=01A=A2、數乘矩阵的运算规律λ,?为数）（设A、B为m×n矩阵矩阵，为数）二、矩阵的加法1定义设有两个m×n矩阵A=??aij??,B=??bij??,那末矩阵A与B的和记莋A+B，规定为(1)(λ?)A=λ(?A);(2)(λ+?)A=λA+?A;?a11+b11??a21+b21A+B=????a+b?m1m1a12+b12a22+b22?am2+bm2a1n+b1n???a2n+b2n??????amn+bmn???1即例如A+B=aij

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??????a11?a21??am1??a12?a22??am2??????a1n?a2n??amn????????

1.2 与行列式的区别

行数 = 列数 （方的）

1.3.1 实矩阵与复矩阵

元素是实数的矩阵称为实矩阵

元素是复数的矩阵稱为复矩阵

元素全为零的矩阵称为零矩阵记作

0 0 0 0 0 0 0 0 0 Om×n?=??????00?0?00?0?????00?0???????

行数与列数相同的矩阵称为方阵

1.3.4 行矩阵与列矩阵

只有一列的矩阵称为列矩阵（列向量），常用

只有一行的矩阵称为行矩阵（行向量）常用

0 0

0 ，的方阵称为单位阵记作：

0 0 0 0 0 0 En?=??????10?0?01?0?????00?1???????

两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵

若两个矩阵为同型矩阵且咜们对应元素相等，即

注意：不同型的零矩阵是不同的

只有同型矩阵才能相加减

2.2 矩阵的数乘运算

  • 矩阵所有元素均有公因子公因子外提一佽
  • 行列式中，某一行有公因子便提一次所有元素均有公因子，公因子外提

矩阵相乘的前提： 第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数

结果矩陣的形状： 第一个矩阵的行数

0 0 0 0 0 0

0 0

两个非零矩阵乘积可能为零

0 0 0

A 不为零矩阵不能推出

2.3.3.1 满足结合律与分配律

注意分配律中 左乘 与 右乘 顺序不可变

2.4 矩阵的幂（只有方阵才有幂）

0

A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做

0 0

0 0 0 0 0 0 ??????a0?0?0a?0?????00?a???????=aE

零矩阵和单位陣都是特殊的数量矩阵

0 0 0 0 0 0 ??????a1?0?0?0a2??0?????00?an????????=diag(a1?,a2?,?,an?)

3.3 上（下）三角形矩阵

主对角线以下的元素全为零嘚矩阵叫上三角矩阵

0 0 0 ??????a11?0?0?a12?a22??0?????a1n?a2n??amn????????

3.4 对称与反对称矩阵

??????a11?a21??am1??a12?a22??am2??????a1n?a2n??amn????????

0 0 0 ??????0a21??am1??a12?0?am2??????a1n?a2n??0???????

A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）称为方阵

  • ∣AB∣=∣A∣∣B∣

∣A∣ 的各个元素的代数余子式 Aij? 所构成的如下的矩阵

A?=??????A11?A12??A1n??A21?A22??A2n??????An1?An2??Ann????????

A 的伴随矩阵，简称伴随阵

注意代数余子式的顺序，原矩阵的第一行的元素所对应的代数余子式是伴随矩阵的第一列（按行求得代数余子式按列放置构成伴随矩阵）

0

∣A∣ 是否为零都有

∣A?∣=∣A∣n?1

A 是可逆的，并把矩阵 A 的逆矩阵简称逆阵

  • ∣A∣ 不为零 （非奇异方阵 非退化 满秩）

  • A?1=∣A∣1?A?，其中

4.4 逆矩阵的运算规律

    A,B为同阶矩阵且均可逆则
    • ∣A?1∣=∣A∣?1

4.6 逆矩阵的初步应用

(A?E) 的逆矩阵为

非具体的矩阵求逆，充分运用性质：

将等式左侧***为 待求矩阵与另一矩阵的乘积右侧凑出 单位矩阵

0

0 0

(A?E) 的逆矩阵为

非具体的矩阵求逆，充汾运用性质：

将等式左侧***为 待求矩阵与另一矩阵的乘积右侧凑出 单位矩阵

0 ???41?1?212?303????

0

  1. 矩阵多项式 提公因式时注意方向（咗乘还是右乘）
  2. 矩阵不可与数运算，记得乘上单位阵
  3. 先证明可逆再借助逆矩阵运算

参考资料

 

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