知识结构图 n维向量 向量组 向量组與矩阵的对应 向量组的线性组合 向量组的线性表示 向量组的等价 判定定理及必要条件 判定定理 §2 向量组的线性相关性 回顾：向量组的线性組合 定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am 对于任何一组实数 k1, k2, …, km ，表达式 k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合． k1, k2, …, km 称为这个线性组合的系数． 定义：给定向量組 A：a1, a2, …, am 和向量 b如果存在一组 实数 l1, l2, …, lm ，使得 b = l1a1 + l2a2 + … + lmam 则称向量 b 能由向量组 A 的线性表示． 引言 问题1：给定向量组 A零向量是否可以由向量组 A 线性表 礻？ 问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示线性组合的 系数是否不全为零？ 向量b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 P.83 定理1 的结论： 问題1：给定向量组 A零向量是否可以由向量组 A 线性表示？ 问题1′：齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在解 回答：齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解． 事实上，可令k1 = k2 = … = km =0 则 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量） 问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的系数 是否不全为零 问题2′：齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在非零解？ 回答：齐次线性方程组不一定有非零解从而线性组合的系数 不一定全等于零． 例：设 若 则 k1 = k2 = k3 =0 ． 向量组的线性相关性 定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am ，如果存在不全为零的实 数 k1, k2, …, km 使得 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量） 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它是线性无关的． 向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关 m 元齐佽线性方程组 Ax = 0 有非零解 R(A) < m 备注： 给定向量组 A不是线性相关，就是线性无关两者必居其一． 向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关，通常是指 m ≥2 的情形. 若向量组只包含一个向量：当 a 是零向量时线性相关；当 a 不是零向量时，线性无关． 向量组 A：a1, a2, …, am (m ≥2) 线性相关也就是向量组 A 中，至少有一个向量能由其余 m－1 个向量线性表示． 特别地 a1, a2 线性相关当且仅当 a1, a2 的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线． a1, a2, a3

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