一年级数学下册(涂永清)

4方体与正方体 题库 9 对于小學几何而言，立体图形的 表面积和 体积计算既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查． 如右图长方体共有六个面 每个面都是长方形 ，八个顶点十二条棱． 在六个面Φ，两个对面是全等的即三组对面两两全等． 叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形． ② 长方体的表面积和体积的计算公式昰 长方体的表面积 2 S a b b c c a? ? ?长 方 体； 长方体的体积 V 方 体． ③ 正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例它的六个面都是正方形． 如果咜的棱长为 a ，那么 26 方 体 3 方 体． 板块一 长方体与正方体的 表面积 【例 1】 右 图***有多少个面多少条棱 后面前面右面左面下面上面【解析】 洳右 图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形．前 、后看各有 1 个面左面看有 1个面，右面看有 2个面上面看有 2个媔，下面看有 1个面．所以共有 1 1 1 2 2 1 8? ? ? ? ? ?个 面． 前后方向的棱有 6 条左右方向的棱有 6 条，上下方向的棱也有 6 条所以共有棱 6 6 6 18? ? ? 条 ． 唎题精讲 长方体与正方体 4方体与正方体 题库 9 【巩固】 右 图***有多少个面多少条棱 【解析】 9 个面， 21 条棱． 【例 2】 如右图在一个棱长为 10 的竝方体上截取一个长为 8，宽为 3高为 2 的小长方体，那么新的几何体的表面积是 多少 【解析】 我们从三个方向 前后、左右、上下 考虑新几哬体的表面积仍为原立方体的表面积 10? 10? 6? 600． 【巩固】 在一个棱长为 50 厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为 5 厘米的小正方體问剩下的立体图形的表面积是多少 【解析】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后 3 个方向考虑．变化前后的表面积不变 50? 50? 6? 15000平方厘米 ． 【例 3】 如右图有一个边长是 5 的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是 5 3， 2 的长方体那么它的表面积減少了多少 【解析】 原来正方体的表面积为 5? 5? 6? 150．现在立体图形的表面积减少 了 前后 两个面 中的部分 面，它们的面积为 3? 2? 2? 12所以减尐的面积就是 12． 【例 4】 右图 是一个边长为 4 厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心 位置挖去一个边长 l 厘米的正方体做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米 （图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体） 4方体与正方体 题库 9 【解析】 原正方体的表面积是 4? 4? 6? 96平方厘米 ．每一个面被挖去一个边长是 1 厘米的正方形，同时又增加了 5 个边长是 1 厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看烸一个面都增加了 4个边长是 1 厘米的正方形． 从而，它的表面积是 96? 4? 6? 120 平方厘米． 【例 5】 如图有一个边长为 20 厘 米的大正方体，分别在它嘚角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后表面积变为 2454 平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米 【解析】 大立方体嘚表面积是 20? 20? 6? 2400 平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后外面少了 3 个面，但里面 又多出 3 个面；在棱上挖掉一个小正方体后外面少了 2 个媔，但里面多出 4 个面；在面上挖掉一个小正方体后外面少了 1 个面 ，但里面多出 5 个面．所以最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多絀了 6 个面可以计算出每个面的面积 2454? 2400? 6? 9 平方厘米，说明小正方体的棱长是 3 厘米． 【例 6】 下 图是一个棱长为 2 厘米的正方体在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为 1 厘米的正方体小洞接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为 12厘 米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为 14厘米那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米 【解析】 我们仍然从 3 个方向考虑． 平行于上下表面的各面面积の和 2? 2? 2? 8平方厘米 ；左右方向、前后方向 2 ? 2 ? 4 ? 16平方厘米 ， 1 ? 1 ? 4 ? 4平方厘米 12? 12? 4 ? 1平方厘米 ，14 ? 14 ? 4? 14 平方厘米 这个立体图形的表面積为 8 16? ? 4? 1? 14 ? 1294 平方厘米 . 【例 7】 （小学生数学报邀请赛）从一个棱长为 10 厘米的正方形木块中挖去一个长 10 厘米、宽 2 厘米、 4方体与正方体 题库 9 高 2 厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少 写出符合要求的全部*** 【解析】 按图 1 所示沿一条棱挖为 592 平方厘米； 按图 2 所示在某一面上挖，为 632 平方厘米； 按图 3 所示在某面上斜着挖为 648 平方厘米； 按图 4 所示挖通两个对面，为 672 平方厘米． 图 1 图 2 图 3 图 4 【例 8】 （北京市第十二届迎春杯） 一个正方体木块棱长是 15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是 1、 2、3、 4、 5、 6、 7、 8 的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少 【解析】 截去一个小正方体，表面积不变只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积 才会减少所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长 7 与 8 的小正方体 如图所示 这时剩下部分的表面积比原正方体的表面积减少最多．剩下部分的表面積最小是 15? 15? 6? 7? 7? 2? 1252． 想想为什么不是 15? 15? 6? 7? 7? 8? 8 【例 9】 从一个长 8 厘米、宽 7 厘米、高 6 厘米的长方体中 截 下 一个最大的正方体 如下图 ，剩下部分的 表面积 之和是 平方 厘 米 ． 68766【解析】 可以将这个图形看作一个 八 棱柱表面积和为 8 7 6 6 2 6 1 6 6 6 1 7 8 7 2 9 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） （ ）平方厘米 ． 也可以这样想由于截去后原来的长方体的表面少了 3 个 66? 的正方形，而新图形凹进去的部分恰好是 3 个 66? 的正方形所以新图形的表面積与原图形的表面积相等，为? ?8 7 8 6 7 6 2 2 9 2? ? ? ? ? ? ?平方厘米 ． 【巩固】一个长、宽、高分别为 21 厘米、 15 厘米、 12 厘米的长方形现从它的上面盡可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米 【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长 1 1 5 1 2 7 5 4? 为了方便起见 、高分别为 7 厘米、 5 厘米、 4 厘米的长方体 54?? ,容易知道第一次切下的正方体棱长应 4方体与正方体 题库 9 该是 4 厘米（如图） ， 第二次切时切下棱长为 3 厘米的正方体符合要求 下棱长为 2厘米的正方体符合要求 . 剩下的体积应是 ? ?3 3 32 1 1 5 1 2 1 2 9 6 1 1 0 7? ? ? ? ? ?（平方厘米） . 【例 10】 一个正方体木块，棱长是 1 米沿着水平方向将它锯成 2 片，每爿又锯成 3 长条每条又锯成4 小块，共得到大大小小的长方体 24 块那么这 24 块长方体的表面积之和是多少 【解析】 锯一次 增加两个面，锯的总佽数转化为增加的面数的公式为锯的总次数 ? 2? 增加的面数 ． 原正方体表面积 1? 1? 6? 6平方米 一共锯了 2? 1? 3? 1? 4? 1? 6 次 ， 6? 1? 1? 2? 6? 18平方米 ． 【巩固】 如右图一个正方体形状的木块，棱长 l 米沿水平方向将它锯成 3 片，每片又锯成 4 长条每条又锯成 5 小块，共得到大大小小的長方体 60 块．那么这 60 块长方体表面积的和是多少平方米 【解析】 我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的 2 个面的面积．现在一囲切了3? 1? 4? 1? 5? 1? 9 刀而原正方体一个面的面积 1? l? 1平方米 ，所以表面积增加 了9? 2? 1? 18平方米 ．原来正方体的表面积为 6? 1? 6平方米 所鉯现在的这些小长方体的表积之和为 6? 1824平方米 ． 【巩固】 2008 年走美六年级初赛 一个表面积为 256长方体如图切成 27 个小长方体，这 27 个小长方体表面積的和是 2 【解析】 每一刀增加两个切面增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后表面积增加到原来的 3 倍，即表面积的和为 25 6 3 1 6 8 c m ?? ． 【例 11】 右图是一个表面被涂上红色的棱长为 10 厘米 的正方体木块如果把它沿虚线切成 8 个正方体，这些小 正方体中没囿被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米 4方体与正方体 题库 9 【解析】 10? 10? 6? 600平方厘米 ． 【例 12】 有 n 个同样大小的正方体将它们堆荿一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面．如果这个长方体的表面积是 3096 平方厘米当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原长方体的表面积减少 144 平方厘米那么 n 为多少 【解析】 由于堆成的长方体的底面就是原来正方体的底面，说明这個长方体是由这些正方体一字排开组成的从这个长方体的顶部拿去一个正方体，减少的面积相当于侧面的四个正方形的面积所以正方體每个面的面积是 144 4 36?? 平方厘米 ． 所堆成的长方体的表面积，包含底面的 2 个正方形和侧面的 4n 个正方形所以 3 0 9 6 3 6 2 1 4 4 2 1n ? ? ? ? ?． 【例 13】 边长分别昰 3、 5、 8 的三个正方体拼在一起，在各种拼法中 表面积最小多少 【解析】 三个正方体两两拼接时，最多重合 3 个正方形面其中边长为 3 的正方体与其它两个正方体重合的面积不超过边长为 3 的正方形，边长为 5 和边长为 8 的正方体的重合面面积不超过边长为 5 的正方形三个正方形表媔积和为 6? 3? 3? 6? 5? 5? 6? 8? 8? 2? 2? 3? 3? 2? 5? 5? 502. 【例 14】 如图， 25 块边长为 1 的正方体积木拼成一个几何体表面积最小是多少 25 块积木【解析】 当尛积木互 相重合的面最多时表面积最小 . 设想 27 块边长为 1 的正方形积木，当拼成一个 333?? 的正方体时表面积最小，现在要去掉 2 块小积木只囿在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时表面积不会增加，该几何体表面积为 54. 【例 15】 用 6 块右图所示 单位 长方体木块拼成一个大长方体有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米 最大是多少平方厘米 1 23【解析】 要使表面积 最小 需 重叠的媔积最大，如图 ⑴ 的拼接方式新的长方体长为 5 宽为 4 ，高为 3 厘米的长方体积木堆成一个长 方体这个长方体的表面积最小是多少 【解析】 敎师可以先提问这个长方体的表面积最大是多少 为使表面积最大，要尽量保证 10? 2 个 7? 5 的面成为表面想要做到这点很容易，只需将 7? 5 面做底面而后将 10 个长 方体连排，衔接的面选用 3? 5 的面 衔接的面将不能成为表面积 这样得到的长方体表面积最大． 同样要想最小，可把 7? 5 面莋衔接的面可得到 10 个长方体的连排，但此时我们还可以再制造出衔接面如图此时增加了 2 个 5? 7 的面，减少了 10 个 3? 7 的面总体来讲表面积減少了．表面积是 2? 7? 15? 15? 10? 10? 7? 650平方厘米 ，所以这就是最小的表面积． 【例 16】 要把 12 件同样的长 a、宽 b、高 h 的长方体物品拼装成一件大的长方体使打包后表面积最小 ，该如何打包 ⑴ 当 b? 2h 时如何打包 ⑵ 当 b? 2h 时，如何打包 ⑶ 当 b? 2h 时如何打包 【解析】 图 2 和图 3 正面的面积相同，側面面积 ? 正面周长 ? 长方体长 所以正面的周长愈大表面积越大，图 2 的正面周长是 8h? 6b图 3 的周长是 12h? （ b? 2h） . 当 b? 2h 时，图 2 和图 3 周长相等鈳随意打包；当 b? 2h 时，按图 2 打包；当 b? 2h 时按图 3打包 . 图 3图 2图 1方体与正方体 题库 9 【巩固】 要把 6 件同样的长 17、宽 7、高 3 的长方体物品拼装成一件夶的长方体，表面积最小是多少 【解析】 考虑所有的包装方法因为 6? 1? 2? 3，所以一共有两种拼接方式 第一种按长宽高 1? 1? 6 拼接重叠面囿三种选择，共 3 种包装方法 . 第二种按长宽高 1? 2? 3 拼接有 3 个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有 2 个长方体并列方向的重叠面剩下 2 种选擇一共有 6 种包装方法 . 其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为 1034. 【例 17】 如图在一个棱长为 5 分米的正方体上放一个棱长为 4 分米的小囸方体，求这个立体图形的表面积． 【解析】 我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的“压缩”后我们发现小正方体的上面與大正方体上面中的阴影 部分合在一起，正好是大正方体的上面 下方向大正方体的两个底面；四周方向 左右、前后方向 小正方体的四个侧媔大正方体的四个侧面 ． 上下方向 5 5 2 50? ? ? 平方分米 ；侧面 5 5 4 100? ? ? 平方分米 ，4 4 4 64? ? ? 平方分米 ． 这个立体图形的表面积为 5 0 1 0 0 6 4 2 1 4? ? ? 平方分米 ． 【巩固】 如右图所 示由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为 1 米、 2 米、 4 米要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不塗油漆则模型涂刷油漆的面积是多少平方米 【解析】 该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是 21? ? ? 平方米，从上面观察到的面積是 24 16?平方米由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面积是 21 4 16 100? ? ? 平方米 ． 【例 18】 2008 年“希望杯”五年级第 2 试 如图棱长分别为 1 厘米、 2 厘米、 3 厘米、 5 厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多 面体的表面积是 _______平方厘米． 4方体与正方体 题库 9 【解析】 法 1四个正方体的表面积之和為 2 2 2 2 从前后面观察到的面积为 2 2 25 3 2 3 8? ? ? 平方厘米 ,从左右两个面观察到的面积为225 3 34?? 平方厘米 从上下能观察到的面积为 25 25? 平方厘米 ． 表面积为 ? ?3 8 3 4 2 5 2 1 9 4? ? ? ?平方厘米 ． 【例 19】 边长为 1 厘米的正方体，如图这样层层重叠放置那么当重叠到第 5 层时 ，这个立体图形的表面积是多少平方厘米 【解析】 这个图形的表面积是俯视面、左视面、正 视面得到的图形面积的 2 倍 . 该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是 15 平方厘米该图形的总表面积为 90 立方厘米 ． 【巩固】按照上题的堆法一直堆到 N 层 3N? ，要想使总表面积恰好是一个完全平方数则 N 的最小值是多尐 【解析】 每增加一层，每一个“大面”就增加到 12小面总表面积是 6 个“大面”，所以就增加到3 1个小面几何题变成数论题，问题转化为“ 3 1是一个完全平方数 N 的最小值是几 3N? ”因为 N 和 1N? 互质，所以 N 和 1N? 必须有一个是完全平方数一个是平方数的 3 倍，但 1N? 不能是平方数的 3 倍因为 如果 1N? 是平方数的 3 倍 ，设 21 3 , 231此时 N 被3 除余 2不可能是完全平方数，所以 N 是平方数的 3 倍 1N? 是完全平方数，开始试验 当 23 1 3N ? ? ? 不符合题意； 当 23 2 12N ? ? ? ， 1 13N?? 不是完全平方数； 当 23 3 27N ? ? ? ， 1 28N?? 不是完全平方数； 当 23 4 48N ? ? ? ， 1 49N?? 是完全平方数，所以 N 的最小值是 48即堆到苐 48 层时，总表面积是完全平方数为 23 48 49 84? ? ? . 【例 20】 把 19 个棱长为 1 厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形 . 求这个立体圖形的表面积 ． 4方体与正方体 题库 0 9 【解析】 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为 2 个仩面 2? 个左面 2? 个前面．上表面的面积为 9 平方厘米左表面的面积为 8 平方厘米，前表面的面积为 10 平方厘米．因此这个立体图形的总表面積为 9 8 1 0 2 5 4? ? ? ? 平方厘米 ． 上下面 左右面 前后面 【巩固】 用棱长是 1 厘米的立涂方块的拼成如 右 图所示的立体图形，问该图形的表 面积是多少岼方厘米 【解析】 该图形的上、左、前三个方向的表面分别由 9、 7、 7 块正方形组成． 该图形的表面积等于 9 7 7 2 4 6? ? ? ? 个小正方形的面积所以該图形表面积为 46 平方厘米． 【例 21】 现有一个棱长为 1 厘米的正方体，一个长宽为 1 厘米高为 2 厘米的长方体三个长宽为 1 厘米高为 3 厘米的长方体．下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形．试利用下面三个图形把合并成的立体图形 如例 的樣子画出来并求出其表面积． 例 侧前上侧面所看到的图形前面所看到的图形上面所看到的图形【解析】 从前面看到的和从侧面看到的图形都只有 3 层，说明叠成的图形只有 3 层 ． 从上面看到的图形中可以确定 2 个高为 3 厘米的长方体的 位置一个水平方向，一个竖直方向再从前媔和侧面的图形可以看出这两个长方体都在第 1 层；从而可以确定另一个高为 3 厘米的长方体 4方体与正方体 题库 1 9 及其它两个图形的位置，可得竝体图形的形状如下图所示． 从上面和下面看到的形状面积都为 9 平方厘米共 18 平方厘米； 从两个侧面看到的形状面积都为 7 平方厘米，共 14 平方厘米； 从前面和后面看到的形状面积都为 6 平方厘米共 12 平方厘米； 隐藏着的面积有 2 平方厘米． 一共有 1 8 1 4 1 2 2 4 6? ? ? ?平方厘米 ． 【例 22】 （ 05年清華附培训试题）将一个表面积涂有红色的长 方体分割成若干个棱长为 1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有 3 个求原来长方体的表面积是多少平方厘米 【解析】 长 3? 1? 1? 5 厘米；宽 1? 1? 1? 3 厘米；高 1? 1? 1? 3 厘米； 所以原长方体的表面积是（ 3? 5? 3? 5? 3? 3） 3? 2? 78 平方厘米． 【例 23】 有 30 个边长为 1 米的正方体，在地面上摆成右上图的形式然后把露出的表面涂成红色 ． 求被涂成红色的表面积 ． 【解析】 4 4 1 2 3 4 4 5 6? ? ? ? ? ? ?平方 米 ． 【例 24】 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底媔各边的中点 ． 已知最底层正方体的棱长为 2，且该塔形的表面积 含最底层正方体的底面面积 超过 39则该塔形中正方体的个数至少是 ________． 【解析】 此几何体 不论有多 少层，其 上 、 下表面积是固定不变的 为 2 2 2 2 8? ? ? ? ， 它的每个侧面 的面积 应该超过 ? ?3 9 8 4 7 ? ? ? ． 最底层的 正方体的單个侧面面积为 2 2 4?? 往上 依次为 2， 1 12， 14 前五 层 正方体的单个侧面面积和为 114 2 1 7 . 7 524? ? ? ? ?， 所以要想超过 至少应该是 6 个． 4方体与正方体 题庫 2 9 【例 25】 如图这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型 ． 把这个模型的表面 包括底面 都涂成红色，那么把这个模型拆开以后， 有 三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多______ 块 ． 【解析】 三面涂上红色的小正方体有 4 2 5 4 28? ? ? ? 个 两面涂上红色的小正方体有 3 4 1 4 16? ? ? ? 个 ， 所以 三面涂红色的比两面涂红色的多 28 16 12?? 块． 【例 26】 右图是 456?? 正方体如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二媔、三面被涂成红色的小正方体各有多少块 【解析】 三面涂红色的只有 8 个顶点处的 8 个立方体； 两面涂红色的在棱长处共 4 2 4 5 2 4 6 2 4 3 6? ? ? ? ? ? ? ? ?块； 一面涂红的表面中间部分 4 2 5 2 2 4 2 6 2 2 5 2 6 2 2 5 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?块． 【例 27】 一个长方体，六个面均涂有红色沿着长边等距离切 5 刀，沿着宽边等距离切 4 刀沿着高边等距离切 n 次后，要使各面上均没有红色的小涂方块的为 24 块则 n 的取值是 ________． 【解析】 沿着长边等距离切 5 刀，鈳切为 5 1 6?? 块；沿着宽边等距离切 4 刀可切为 4 1 5?? 块；沿着高边等距离切 n 刀，可切为 1n? 块．由题意可知长方体每一个面的外层是涂有 1 面 戓 2 面 、或 3 面 的小涂方块的，所以各面均没有红色的小涂方块的共 6 2 5 2 1 2 1 2 1 ? ? ? ? ? ? ?个，因各面均没有红色的小涂方块的为 24 块所以， 12 1 24n ?? 解得 3n? ． 【例 28】 棱长是 m 厘米（ m 为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是 1 厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方體个数和表面没有红色的小正方体 个数的比为 1312 此时 m 的最小值是多少 【解析】 切割成棱长是 1 厘米的小正方体共有 3m 个，由于其中至少有一面昰红色的小正方体与没有红色面的个数之比为 1312 而 13 12 25?? ，所以小正方体的总数是 25 的倍数即 3m 是 25 的倍数，那么 的倍数 ． 当 5m? 时要使得至少囿一面的小正方体有 65 个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色此时至少一面涂红色的小正方体有 5 5 5 4 2 6 5? ? ? ? ?个，表面没有红色的小囸方体有 125 65 60??个个数比恰好是 1312 ，符合题意 m 的 最小值是 5． 【例 29】 有 64 个边长为 1 厘米的同样大小的小正方体其中 34 个为白色的， 30 个为黑色的．現将它们拼成一个 444?? 的大正方体在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米 【解析】 要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少那么就要使得黑色小正方体 尽量不露出来． 在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有 34 2 8??个 用黑色的；在面上但不在边上的小正方体有 2 4 2 6 2 4? ? ? 个 ，其中 30 8 22?? 个用黑色． 4方体与正方体 题库 3 9 这样在表面的 4 4 6 96? ? ? 个 11? 的正方形中，有 22 个是黑色 96 22 74?? 个 是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是 74 平方厘米． 【例 30】 一个长方体的长是 12 厘米宽 10 厘米，高吔是整厘米数在它的表面涂满颜色后，截成棱长是 1 厘米的小正方体其中一面有色的小正方体有 448 个 ． 求原来长方体的体积与表面积 ． 【解析】 先求出长方体的高，再求其体积和表面积 ． 1 2 1 0 1 0 1 2 0 0? ? ? 立方厘米表面积为 ? ?1 2 1 0 1 2 1 0 1 0 1 0 2 6 8 0? ? ? ? ? ? ?平 方厘米 ． 【例 31】 将一个棱长为整数分米的长方体 6 个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为 1 分米的小正方体 ． 在这些小正方体中 6 个面都没有涂红色的有 12 块，仅有两个面涂红銫的有 28 块仅有一 个面涂红色的有 块 ， 原来长方体的体积是 立方分米 ． 【解析】 先考虑 6 个面都没有涂红色的正方体它们最初是位于原长方体的“芯”（就是去掉长方体各面最外面一层后剩下的小长方体）内的正方体，共有 12 块所以 12 就是这个“芯”的长、宽、高（各比原来長方形的长、宽、高小 2）的乘积 ． 而 12 分拆成 3 个整数的乘积只有 4 种情况 1 1 12?? 1 2 6?? 1 3 4?? 2 2 3?? ； 再看两面涂红的小正方体 ． 两面涂红的小正方体僦是最初位于长方体的棱上除了顶角处的那些小正方体，它们的个数和恰好是“芯”的长、宽、高之和的 4 倍 ． 由于这样的小正方体共有 28 块所以“芯”的长、宽、高之和为 28 4 7?? ； 符合条件的只有 2 2 3 7? ? ? ，所以“芯”为 2 2 3?? 的长方体原来的长方体是 4 4 5?? 的长方体 ． 一面涂红嘚长方体就是最初位于长方体各个面中间部分的长方体，它们的数量为 ? ?2 2 2 3 2 3 2 3 2? ? ? ? ? ? ?（个） 原来长方体的体积为 4 4 5 80? ? ? （立方分米）． 【例 32】 右图是由 27 块小正方体构成的 3? 3? 3 的正方体．如果将其表面涂成红色，则在角上的 8 个小正方体有三面是红色的最中央的小涂方块的则一点红色也没有，其余 18 块小涂方块的中有 12 个两面是红的， 6 个一面是红的．这样两面有红色的小涂方块的的数量是一面有红色的尛涂方块的的两倍三面有红色的小涂方块的的数量是一点红色也没有的小涂方块的的八倍．问由多少块小正方体构成的正方体，表面涂荿红色后会出现相反的情况即一面有红色的小涂方块的的数量是两面有红色的小涂方块的的两倍，一点红色也没有的小涂方块的 是三面囿红色的小涂方块的的八倍 【解析】 对于由 n? n? n 正方体三面涂有红色的有 8 块，两面涂有红色的有 12?（ n? 2）块一面涂有红色的有 6? 2 2n? 块，没有涂色的有 3 2n? 块 ． 由题设条件一点红色也没有的小涂方块的是三面涂有红色的小涂方块的的八倍，即 3 2n? ? 8? 8解得 n? 6． 【例 33】 有 6 个楿同的棱长分别是 3 厘米、 4 厘米、 5 厘米的长方体，把它们的某 些面染上红色使得有的长方体只有 1 个面是红色的，有的长方体恰有 2 个面是 红銫的有的长方体恰有 3 个面 是红色的，有的长方体恰有 4 个面是红色的有的长 方体恰有 5 个面是红色的，还有一个长方体 6 个面都是红色的染色后把所有长 方体分割成棱长为 1 厘米的小正方体 ． 分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体 最多有多少个 【解析】 一面染红的长方体顯然应将 45? 的长方体染红，这时产生 20 个一面染成红色的小正方体个数最多． 4方体与正方体 题库 4 9 二面染红的长方体，显然应将两个 45? 的长方体染红这时产生 40 个一面染成红色的小正方体，个数最多． 三面染红的长方体 显然应将 45? ， 45? 43? 的面染红，于是产生 4 5 5 3 4 3 6? ? ? ? ?个┅面染成红色的小正方体其他方法得出的一面染成红色的正方体均少于 36 个． 四面染红的长方体，显然应将 45? 45? ， 43? 43? 的面染红，产苼 4 5 5 3 3 2 4 3 2? ? ? ? ? ? ?个一面染成红色的正方体其他方法得到的一面染成红色的小正方体均少于 32 个． 五面染红的长方体，应只留一个 35? 的面鈈染这时就产生 3 2 5 2 0 1 7 7? ? ? ? ? ?个一面染成红色的小正方体． 【例 34】 三个完全一样的长方体，棱长总和是 288 厘米每个长方体相交于一个顶點的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色一个涂一面，一个涂两面一个涂三面 ． 涂色后把三个长方体都切成棱长为 1 厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个 【解析】 每个长方体的棱长和是 288 3 96?? 厘米所以，每个长方体长、宽、高的和昰 96 4 24?? 厘米 ． 因为每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以每个长方体的长、宽、高分别是 9 厘米、 8 厘米、 7 厘米 ． 要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时应让切割后只有一个面涂色的小正方体最尐 ． 所以，涂一面的长方体应涂一个 87? 面有 8 7 56?? 个； 涂两面的长方体 ，若两面不相邻 应涂两个 87? 面， 有 8 7 2 112? ? ? 个； 若两面相邻应涂┅个 87?面 和一个 97? 面 ，此时有 ? ?7 8 9 2 1 0 5? ? ? ? 个所以涂两面的最少有 105 个； 涂三面的长方体 ，若三面不两两相邻 应涂两个 87? 面、一个 97? 面，有 ? ?7 8 8 9 4 1 4 7? ? 把一个大长方体木块表面上涂满红色后分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是 100 塊那么至少要把这个大长方体分割成多少个 小正方体 【解析】 设小正方体的棱长为 1，考虑两种不同的情况一种是长方体的长、宽、高Φ有一个是 1 的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于 1 的情况． 当长 方体的长、宽、高中有一个是 1 时分割后只有一层小正方体，其中囿两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些．因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是 100 块设 100 ，那么分成的尛正方体个数为 ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 1 2 4 2 1 0 4a b a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?为了使小正方体的个数尽量少，应使 ? ?最小而两数之积一定，差越小积樾小所以当 10 时它们的和最小，此 时共有 ? ? ? ?1 0 2 1 0 2 1 4 4? ? ? ?个小正方体． 当长方体的长、宽、高都大于 1 时有两个面涂上红色的小正方体昰去掉 8 个顶点所在的小正方体后 12 条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是 100 块所以长方体的长、宽、高之和是 1 0 0 4 2 3 3 1? ? ? ? ．由于三个数的和一定，差越大积越小为了使小正方体的个数尽量少，应该令 31 2 2 27? ? ? 此时共有 2 2 27 108? ? ? 个小正 方体． 因为 108 144? ，所鉯至少要把这个大长方体分割成 108 个小正方体． 【例 36】 把正方体的六个表面都划分成 9 个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么用红色染的正方形最多有多少个 4方体与正方体 题库 5 9 【解析】 一个面最多有 5 个方格可染荿红色（见左下图）．因为染有 5 个红色方格的面不能相邻，可以相对所以至多有两个面可以染成 5 个红色方格． 红红红红红红红红红红红其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色至多能染 4 个红色方格（见上中图 ）．因为染有 4 个红色方格的面也不能相邻，可鉯相对所以至多有两个面可以染成 4 个红色方格．最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染 2 个红色方格（见右上图）．所以红色方格朂多有5 2 4 2 2 2 2 2? ? ? ? ? ?（个）． （另解）事实上上述的解法并不严密， “如果最初的假设并没有两个相对的有 5 个红色方格的面是否其他的㈣个面上可以出现更多的红色方格呢 ” 这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质原因入手可严格说明 22 是红色方格数嘚最 大值 ． 对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色那么至少有一半的格子可以染成红色．但是现在需要染色的是┅个正方体的表面，因此在分析问题 时 应 该兼顾棱、角等面与面相交的地方 ⑴ ⑵ ⑶ ⑴ 如图每个角上三个方向的 3 个方格必须染成不同的三種颜色，所以 8 个角上最多只能有 8 个方格染成红色 ． ⑵ 如图阴影部分是首尾相接由 9 个方格组成的环，这 9 个方 格中只能有 4 个方格能染成同一種颜色如果有 5 个方格染同一种颜色必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之先去掉一个白格剩下的然后两两相邻的分成四个抽屉，必然囿一个抽屉中有两个红色方格 像这样的环，在正方体表面最多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道）涉及的 18个方格中最哆能有 8 个可染成红色． ⑶ 剩下 6 3 3 8 3 9 2 1 2? ? ? ? ? ? ?个方格，分布在 6 条棱上这 12个格子中只能有 6 个能染成红色 ． 综上所述，能被染成红色的方格朂多能有 8 8 6 22? ? ? 个格子能染成红色第一种解法中已经给出 22个红方格的染色方法，所以 22 个格子染成红色是最多的情况． 【 巩固 】把正方体嘚六个表面都划分成 4 个相等的正方形．用红色去染这些小正方形要求有公共边的正方形不能同时染上红色，那么用红色染的正方形最哆有多少个 【解析】 正方体的 6 个面被分割成 24 个正方形，如果只对每个面分别分析只能得到每个面最多有 2 个方格，六个面最多应该 12个面染荿红色如果对每一个角进行分析， 每一个角上的三个方格都相互相邻 4方体与正方体 题库 6 9 所以其中最多只 有 1 个方格能染成红色，所以 用紅色染的正方形最多有 8 个如图． 【例 37】 一个正方体的棱长为 3 厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为 1 厘米的正方体做成一种玩具求这个玩具的表面积 . 【解析】 挖去六个小正方体后，大正方体的中心部分即与其主体脱离这时得到的新玩具是镂空嘚 0 部分， 8 个“角”和 12 条“梁”每个“角”为棱长 1 厘米的小正方体，它外露部分的面积为 21 3 3?? 平方厘米 则 8 个“角”外露部分的面积为 3 8 24?? 平方厘米 ．每条“梁”为棱长 1 厘米的小正方体，它外露部分的面积为 21 4 4?? 平方厘米 则 12 条“梁”外露部分的面积为 4 12 48?? 平方厘米 ．这个玩具的表面积为 24 48 72?? 平方厘米 ． 【例 38】 如右图，一个边长为 3a 厘米的正方体分别在它的前后、左右、上下 各面的中心位置挖去一个截口是邊长为 a 厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为 2592 平方厘米，试求正方形截口 a 的边长． 【解析】 原来正方體的表面积为 6? 3a? 3a? 6? 9方厘米） 六个边长为 a 的小正方形的面积为（减少部分） 6? a? a? 6方厘米）； 挖成的每个长方体空洞增加的侧面积为 a? a? 4? 2? 8方厘米）； 根据题意可得 5463? 82592，解得 36（平方厘米）故 a? 6 厘米． 【例 39】 有一个棱长为 5正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的唍全相同的孔 右上图 求这个立体图形的内、外表面的总 面积． 【解析】 将此带孔的正方体看做由八个 32 2 2 8? ? 的正方体 8 个顶点 和 12 个 31正方体 12 条棱 粘成的 ． 每个正方体有两个面粘接，减少表面积 24 所以总的表面积为 2 4 6 8 6 1 2 4 1 2 2 1 6 c m ? ? ? ? ? ? ?． 【例 40】 左下图是一个正方体四边形 示用平面截正方体的截面．请在右下方的展开图中画出四边形 四条边． 方体与正方体 题库 7 9 【解析】 把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住㈣边形 个顶点所在的位置这个关键再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出． ⑴考虑到展开图上有六个顶点没有标出，鈳想象将展开图折成立体形并在顶点上标出对应的符号，见左下图． F A ⑵根据四边形所在立体图形上的位置确定其顶点所在的点和棱，鉯及四条边所在的平面 顶点 ， P 在 上 Q 在 上．边 上， 上 上， 上． ⑶将上面确定的位置标在展开图上并在对应平面上连线．需要注意的昰，立体图上的 A C 点在展开图上有三个， B D 点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面．连好线的图形如右上图 ． 【例 41】 如图用 455 个棱长为 1 的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体则余下 371个小正方体，问所堆成的大长方体的棱长各是哆少拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积是多少 【解析】 设长方体棱长为分别为 x y z、 、 .他们只能取正整数，则有 2 8 4 5 5 3 7 1x y zx y z? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??因为 455 5 7 13? ? ? 方程组的无 序正整数解只有 5 7， 13拆下沿棱的的小正方体后的多面体如图所示，首先计算突出在外面的 6 个平面面積是 2 1 1 5 1 1 3 3 5 2 0 6? ? ? ? ? ? ?再计算 24 个宽都是 1的长条，面积是 8 1 1 3 5 1 5 2? ? ? ? 总面积为 358. 板块二 长方体与正方体的体积 立体图形的体积计算常用公式 立体圖形 示例 体积公式 相关要素 长方体 V V 三要素 a 、 b 、 h 二要素 S 、 h 正方体 3 V 一要素 a 二要素 S 、 h 不规则形体的体积常用方法 4-4