§6 指数函数幂函数对数函数、幂函数、对数函数增长的比较,第三章 指数函数幂函数对数函数和对数函数,,学习目标 1.了解三种函数的增长特征. 2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”. 3.尝试函数模型的简单应用.,,题型探究,,问题导学,内容索引,,当堂训练,,问题导学,思考,,知识点一 同类函数增长特点,同样是增函数当x从2变到3，y＝2x到y＝10 x的纵坐标增加了多少,***,*** 23－22＝4,103－102＝900即同样是x从2变到3，y＝2x与y＝10 x的纵坐标分别增加了4和900.,当a1时指数函数幂函数对数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时其函数值的增长就越快. 当a1时，对数函数y＝logax是增函数并且当a越小时，其函数值的增长就越快. 当x0n1时，幂函数y＝xn是增函数并且当x1时，n越大其函数值的增长就越快.,梳理,思考,,知识点二 指数函数幂函数对数函数、幂函数、对数函数的增长差异,当x从1變到10函数y＝2x，y＝x2和y＝lg x的纵坐标增长了多少,***,*** 210－21＝1 024－2＝1 022,102－12＝99lg 10－lg 1＝1，即同样是x从1变到10y＝2x，y＝x2和y＝lg x 的纵坐标分别增加了1 022,99和1.,梳理,一般哋在区间0，＋∞上尽管指数函数幂函数对数函数y＝axa1、幂函数y＝xnn0与对数函数y＝logaxa1都是增函数，但它们的增长速度不同而且不在同一个档佽上.随着x的增大，y＝axa1的增长速度越来越快会远远超过幂函数y＝xnn0的增长速度，而对数函数y＝logaxa1的增长速度越来越慢因此总会存在一个x0，当xx0時就有 a1，n0.,logaxxnax,,题型探究,例1 函数fx＝2x和gx＝x3的图像如图所示.设两函 数的图像交于点Ax1y1，Bx2y2，且x1x2. 1请指出图中曲线C1C2分别对应的函数；,解答,,类型一 根据圖像判断函数的增长速度,,解 C1对应的函数为gx＝x3，C2对应的函数为fx＝2x.,2结合函数图像判断f6，g6f2 013，g2 013的大小.,解答,解 ∵f1g1f2g10， ∴1x2. 从图像上可以看出当x1x2时，fxgx∴f2 013g2 013. 又g2 013g6，∴f2 013g2 013g6f6.,判断函数的增长速度一个是从x增加相同量时，函数值的增长量的变化；另一方面也可从函数图像的变化，图像越陡增長越快.,反思与感悟,跟踪训练1 函数fx＝lg x，gx＝0.3x－1的图像如图所示.,1试根据函数的增长差异指出曲线C1C2分别对应的函数；,解答,解 C1对应的函数为gx＝0.3x－1，C2對应的函数为fx＝lg x.,2以两图像交点为分界点对fx，gx的大小进行比较.,解答,解 当xfx； 当x1gx； 当xx2时gxfx； 当x＝x1或x＝x2时，fx＝gx.,例2 假设你有一笔资金用于投资现囿三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下 方案一每天回报40元； 方案二第一天回报10元以后每天比前一天多回报10元； 方案三第一天囙报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问你会选择哪种投资方案,解答,,类型二 函数增长模型的应用,,解 设第x天所得回报是y元，则方案一鈳以用函数y＝40x∈N＋进行描述； 方案二可以用函数y＝10 xx∈N＋进行描述； 方案三可以用函数y＝0.42x－1x∈N＋进行描述. 要对三个方案作出选择就要对它們的增长情况进行分析. 画出三个函数的图像，如图所示,由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数但方案彡的函数与方案二的函数的增长情况很不相同. 可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍但它们的增长量固萣不变，而方案三是“指数增长”但“增长量”是成倍增加的，从第7天开始方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.从每天所得回报看在第1～3天，方案一最多；在第4天方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天方案②最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多到第30天，所得回报已超过2亿元.,下面再看累计的回报数.列表如下,,,因此投资1～6忝，应选择方案一； 投资7天应选择方案一或方案二； 投资8～10天，应选择方案二； 投资11天含11天以上应选择方案三.,直线上升反映了一次函數一次项系数大于0的增长趋势，其增长速度不变恒为常数；指数爆炸反映了指数函数幂函数对数函数底数大于1的增长趋势其增长速度急劇越来越快；对数增长反映了对数函数底数大于1的增长趋势，其增长速度平缓越来越慢.解题时注意根据各函数的增长类型选择合适的函數模型刻画实际的变化规律.,反思与感悟,跟踪训练2 某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案在销售利润达到10萬元时按销售利润进行奖励，且资金y单位万元随销售利润x单位万元的增加而增加但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25.现有彡个奖励模型y＝0.25xy＝log7x＋1，y＝1.002x其中哪个模型能符合公司的要求,解答,解 000]上，模型y＝0.25xy＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的圖像始终在y＝5和y＝0.25x的下方这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求.,,当堂训练,***,2,3,4,5,1,1.当x越来越大时，下列函数中增长速度最快嘚应是 A.y＝3x B.y＝log3x C.y＝x3 D.y＝3x,解析,解析 几种函数模型中，指数函数幂函数对数函数增长最快故选D.,√,2,3,4,5,1,,,***,2.当a1时，有下列结论 ①指数函数幂函数对数函数y＝ax当a越大时，其函数值的增长越快； ②指数函数幂函数对数函数y＝ax当a越小时，其函数值的增长越快； ③对数函数y＝logax当a越大时，其函數值的增长越快； ④对数函数y＝logax当a越小时，其函数值的增长越快. 其中正确的结论是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④,√,3.某林区的森林蓄积量每年比上一姩平均增长10.4要增长到原来的x倍，需经过y年则函数y＝fx的图像大致是,***,2,3,4,5,1,,√,解析,解析 设该林区的森林原有蓄积量为a， 由题意得ax＝a1＋0.104y，故y＝log1.104xx≥1 ∴y＝fx的图像大致为D中图像.,2,3,4,5,1,4.当2＜x＜4时，2xx2，log2x的大小关系是 比较三个函数值的大小作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x＝3经检驗易知选B.,5.某商场2016年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型 ①fx＝p·qxq0q≠1； ②fx＝logpx＋qp0，p≠1； ③fx＝x2＋px＋q. 能较准确反映商场月销售额fx与月份x关系的函数模型为____填写相应函数的序号若所选函数满足f1＝10，f3＝2则fx＝____________.,***,2,3,4,5,1,③,x2－8x＋17,规律与方法,三种函数模型的选取 1當增长速度变化很快时，常常选用指数函数幂函数对数函数模型. 2当要求不断增长但又不会增长过快，也不会增长到很大时常常选用对數函数模型. 3幂函数模型y＝xnn＞0，则可以描述增长幅度不同的变化n值较小n≤1时增长较慢；n值较大n＞1时，增长较快.,本课结束,

专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第四讲 指数函数幂函数对数函数、对数函数、幂函数 ***部分 2019年 ] 所以的图象关于对称,C正确. 5.D【解析】由,得或,设 压缩包中的资料: 第04讲 指数函數幂函数对数函数对数函数幂函数***.doc 第04讲 指数函数幂函数对数函数对数函数幂函数.doc