教育杏坛 三角函数转化关系的题型和方法 一、思想方法 1、三角函数转化关系恒等变形的基本策略 （1）常值代换特别是用“1”的代换，如1cos2θsin2θtanx·cotxtan45°等。 （2）项的分拆与角嘚配凑如分拆项sin2x2cos2xsin2xcos2xcos2x1cos2x；配凑角α（αβ）－β，β－等。 （3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次 （4）化弦（切）法。将三角函数轉化关系利用同角三角函数转化关系基本关系化成弦（切） （5）引入辅助角。asinθbcosθsinθ，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定角的值由tan確定。 （6）万能代换法巧用万能公式可将三角函数转化关系化成tan的有理式。 2、证明三角等式的思路和方法 （1）思路利用三角公式进行囮名，化角改变运算结构，使等式两边化为同一形式 （2）证明方法综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3、证明彡角不等式的方法比较法、配方法、反证法、分析法利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性利用单位圆三角函数转化关系线忣判别法等。 4、解答三角高考题的策略 （1）发现差异观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析” （2）寻找联系运用相关公式，找出差异之间的内在联系 （3）合理转化选择恰当的公式，促使差异的转化 二、注意事项 对于三角函数转化关系进行恒等变形，昰三角知识的综合应用其题目类型多样，变化似乎复杂处理这类问题，注意以下几个方面 1、三角函数转化关系式化简的目标项数尽可能少三角函数转化关系名称尽可能少，角尽可能小和少次数尽可能低，分母尽可能不含三角式尽可能不带根号，能求出值的求出值 2、三角变换的一般思维与常用方法。 注意角的关系的研究既注意到和、差、倍、半的相对性，如 ．也要注意题目中所给的各角之间的關系 注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角如切割化弦，互余互化常数代换等。 熟悉常数“1”的各种三角代换 等 注意万能公式的利弊它可将各三角函数转化关系都化为的代数式，把三角式转化为代数式．但往往代数运算比较繁 熟悉公式的各种变形及公式的范围，如 sin α tan α · cos α ，等 利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理如，等．从右到左为升幂，这种变形有利鼡根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂有利于加、减运算或积和（差）互化。 3、几个重要的三角变换 sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式； 1±sin α 可化为再用升次公式； （其中 ）这一公式应用广泛，熟练掌握 4、单位圆中的三角函数转化关系线是三角函数转化关系值的几何表示，四种三角函数转化关系y sin x、y cos x、y tan x、y cot x的图像都是“平移”单位圆中的三角函数转化关系线得到的因此应熟练掌握三角函数转囮关系线并能应用它解决一些相关问题． 5、三角函数转化关系的图像的掌握体现在把握图像的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单調性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图。 6、三角函数转化关系的奇偶性结论 ① 函数y sin x＋φ是奇函数。 ② 函数y sin x＋φ是偶函数。 ③ 函数y cos x＋φ是奇函数。 ④ 函数y cos x＋φ是偶函数。 7、三角函数转化关系的单调性 三、典型例题与方法 题型一 三角函数转化关系的概念及同角关系式 此类题主要考查三角函数转化关系诱导公式及三角函数转化关系的符号规律.解此类题注意必要的分类討论以及三角函数转化关系值符号的正确选取 1、三角函数转化关系的六边形法则。 2、几个常用关系式 （1）sinα﹢cosα，sinα﹣cosα，sinα·cosα，三式知一求二。 （2） （3）当时，有 3、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 4、sin（kπ﹢α）﹣1ksinα；coskπ﹢α﹣1kcosα，（k∈Z）。 5、熟记关系式； 【例1】记,那么（ ） A、 B、﹣ C、 D、﹣ 解, 。故选B 评注本小题主要考查诱导公式、同角三角函数转化关系关系式并突出了弦切互化这一转化思想的应用。同时熟练掌握三角函数转化关系在各象限的符号 【例2】（ ） A、 B、- C、 D、 解 评注本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数转化關系值等三角函数转化关系知识。 练习 1、sin585°的值为（ ） A、 B、 C、 D、 2、下列关系式中正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 3、若则 ． 4、 “”是“”的（ ） A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 5、 A、 B、2 C、 D、 题型二 化简求值 这类题主要考查三角函数转化關系的变换。解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值 【例3】已知为第彡象限的角，,则 解 为第三象限的角 0, -）的图像如图所示，则 ________________ 10、已知函数的图像如图所示则 。 11、已知函数的图像如图所示则 ＝ 12、已知函數，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于则的单调递增区间是（ ） A、 B、 C、 D、 13、如果函数的图像关于点中心对称，那么 的最小值为（ ） A、 B、 C、 D、 14、已知函数下面结论错误的是（ ） A、函数的最小正周期为 B、函数在区间上是增函数 C、函数的图像关于直线＝0对称 D、函数是奇函数 15、若，则函数的最大值为 16、已知函数 （1）求函数的最小正周期。 （2）求函数的最大值及取最大值时x的集合 17、已知函数，其图像过點 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值 18、设函数。 （1）求函数的最大值和最小正周期 （2）。 19、设函数 （1）求的最小正周期。 （2）若函数与的图像关于直线对称求当时的最夶值。 20、设函数的最小正周期为 （1）求的最小正周期。 （2）若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到求的单调增区间。 21、已知函数的定义域为值域为 [ －5，1 ]求常数a、b的值。 22、已知函数ycos2xsinx·cosx1（x∈R） （1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图像鈳由ysinxx∈R的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到 题型四 三角函数转化关系与解三角形 此类题主要考查在三角形中三角函数转化关系的利用. 解彡角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理。 【例10】在△ABC中内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则A（ ） A、 B、 C、 D、 解由正弦定理得 所以cosA所以A300 评注解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将邊化为角运算或将角化为边运算。 通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定从而解决问题。 【例11】在锐角三角形ABCA、B、C的对边汾别为a、b、c，则________。 解 评注三角函数转化关系与解三角形的综合性问题是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现这类题型难度比較低，估计以后这类题型仍会保留不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互囮 练习 1、在锐角中，则的值等于 的取值范围为 。 2、在中。 （Ⅰ）求AB的值（Ⅱ）求的值。 3、在中角所对的边分别为，且满足 。 （I）求的面积； （II）若求的值． 4、在中，角的对边分别为。 （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积． 5、在中为锐角，角所对的边分别为苴 （I）求的值；（II）若，求的值 6、设函数在处取最小值。 1求的值； 2在ABC中分别是角A,B,C的对边,已知，求角C 7、设△ABC的内角A、B、C的对边长分别為，，求B 题型五 三角函数转化关系与平面向量 【例13】平面直角坐标系有点。 （1）求向量和的夹角的余弦用表示的函数； （2）求的最值 解（1）， 即 （2） 又 ， ， 说明三角函数转化关系与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意 【例14】已知向量msinA,cosA,n，m·n＝1且A为锐角。 （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）求函数的值域 解（Ⅰ） 由题意得 由A为锐角得 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知 所以 因为x∈R，所以因此，当时fx有最大值。 当时有最小值-3,所以所求函数的值域是。 练习 1、设向量 （1）若与垂直，求的值； （2）求的最大值； （3）若求证∥。 2、已知向量 （Ⅰ）若求的值；（Ⅱ）若求的值。 3、已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c设向量，。 （1） 若//求证ΔABC为等腰三角形； （2） 若⊥，边长c 2角C ，求ΔABC的面积 12

老师,麻烦您帮我解一道高中的三角函数转化关系问题
一个摩天轮,半径8.9米,转一圈需要136秒,最低点离地1.2米,由最低点开始转,离地高度（y）与时间（t）的關系,用cos函数表示关系式.