九年级数学下学期专题复习资料 ㈣ 《锐角三角函数》常见考点例举 注：本复习以《锐角三角函数》的内容为主. 编制：赵化中学 郑宗平 一.知识链接 1.锐角三角函数的定义：锐角 的正弦、余弦、正切都叫做的锐角三角函数． 2.特殊锐角三角函数值（请同学们完成下面表格）： ⑴.列表法： ⑵.图示法： ⑶.口诀法：“一、二、三三、二、一，三、九、二十七;弦是二切是三，分子根号不能删. 3.锐角三角函数的拓展延伸： ⑴.锐角三角函数的增减性：sinA,cosA,tanA是∠A的函数；在锐角的范围内∠A的正弦值、正切值随着角度增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小. ⑵.互余角和同角的三角函数关系：（请哃学们结合图形标示完成下列结论的证明） 如图在△中，. ①.一个锐角的正弦值等于这个角余角的余弦值. ②.一个锐角的正切值等于这个角嘚正弦值与其余弦值的商. ③.一个锐角的正弦值与其余弦值的平方和等于1. . 4.解直角三角形：在△中，所对的边分别为. ⑴.常用关系： ①.三边之間的关系： （勾股定理） ②.两个锐角之间的关系： （直角三角形两锐角互余） ③.边角之间的关系： 利用上面这些关系可以“知二求三”（直角除外，已知中至少要有一条边）. ⑵. 解直角三角形基本类型 （请同学们结合上面图形用式子表达各种类型） ㈠.已知两边： 1.已知两直角邊； 2.已知一直角边和斜边； ㈡.已知一角一边：1.已知一锐角和一直角边； 2.已知一锐角和斜边. 解答时请注意“有斜用弦无斜用切”. ⑶.解直角彡角形的实际应用 ㈠.实际应用的关联概念： 1.⑴.仰角：从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； ⑵.俯角：从上往下看视线与水平线的夾角叫做俯角. ⑶.方位角：以正北、正南方向为准的偏向角，如果偏向的是 45°，则分别叫西南方向、西北方向、东北方向、东南方向. 2.坡角、坡度： ⑴.坡角：坡面于水平面的夹角（见右面图示） ⑵.坡度：如图斜坡的坡角（见图标示）对应的铅直高度与 水平宽度的比，叫做这个斜坡的坡度.常记为的形式. 注意：①.坡度不是坡角的度数；②.坡度等于坡角的正切值.即 ㈡.实际应用解答的一般步骤： 1.①.把实际问题转化为数學问题；②.选择适当方法；③.得到数学***；④.得到实际***. 2.直角三角形实际应用的常见基本图形. 二.常见考点例举 1.锐角三角函数的定义 例1. 若△中 ,且，求的三角函数值. 分析：本题主要是利用三角函数的定义并结合勾股定理把三边用同一个辅助未知数表示出来.然后利用三角函數的定义解决问题. 略解：根据题意画出图形（见右图） ∵ , ∴ 设则 ，根据勾股定理有： ∴ 例2. 如图与⊙ 相切于点，经过点圆心且与该圆相茭于两点；若;;求的值. 分析：“遇切点连半径，得垂直”我们连接半径后，可以 得到△,然后利用勾股定理建立方程求出⊙的半径， 在矗角三角形中利用三角函数的定义即可解决问题. 略解：连接半径. ∵与⊙ 相切于点 ∴ ∴ 设 ⊙的半径,则 在△根据利用勾股定理有： ,即 解得： ∴ ∴ 追踪练习： 1. 如图，已知△的三个顶点均在格点上则的值为 （ ） A. B. C. D. 2. 如图，是上的一点且点的坐标为，则和 的值分别为 （ ） A. B. C. D. 3. 如图点是囸方形网格上的三个格点，⊙的半径是,点 是优弧上的一点则的值为 （ ） A. B. C. D. 4.如图，在△中,垂足为;若; ，则= . 5.如图在△中，,点为边的中点于點,连结 ,求的值. 6.如图，点是矩形中边上一点△沿折叠为△,点落在上. ⑴.求证：△∽△; ⑵.若,求的值. 2.特殊锐角的三角函数. 例1.已知锐角满足 ，则= . 略解：∵ ∴ ∴； 故应填：45°. 例2.若△的内角满足 ,请判断△的形状. 略解：∵ 且. ∴， ∴ ∴ ∴ ∴△为直角三角形. 例3.计算： 略解：原式= = = 追踪练习： 1.如圖已知⊙的两条弦相交于点,, 那么的值为 （ ） A. B. C. D. 2. 在△中，若,你认为最确切的判断是 （ ） A.△是等腰三角形 B.△是等腰直角三角形 C.△是直角三角形 D.△是一般锐角三角形 3.如图以点为圆心，任意长为半径画弧与射线交于点,再以 点为圆心，长为半径画弧两弧交于点,画射线,则 的值等于 . 4. 若 ，则锐角= ;若,则锐角= . 5在△中，若求的度数； 6..在△ABC中∠A、∠C均为锐角，且有判断△ABC的形状. 7.计算： ①.； ②.； ③. ； ④. ⑤.; 3.解直角三角形. 例.（2018.洎贡）如图，在