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建议把高中物理&物理竞赛的tag撤掉这已经远远不是普通高中生能力范围之内的题目了。

首先我们要对弹簧做连续性假设：把弹簧看成一个均匀的弹性柱体。不妨先设弹簧原长为l

我们设在弹簧原长时，某点到弹簧左端的距离是x在振动过程中，t时刻它相对于原长时的位移为u(x,t)向右为正方向，那么在弹簧內部 u满足波动方程：

，其中 这个推导可以在任意数学物理方程的书里找到。

在x=0（A球）和x=l（B球）处质点运动的牛顿第二定律提供了上述偏微分方程的边界条件：

这样我们就把这个物理问题完全转换为数学问题了。剩下的事情就丢给数学家了（大误）

物理学工作者会用“分离变量法”来求解这种偏微分方程。

在我们先考虑驻波解也就是 这样形状的解，其中X(x)和T(t)分别是x和t的一元函数如果 是原方程的解，峩们把它带入波动方程(1)：

注意等式左边不依赖于t等式右边不依赖于x，因此它既不依赖t又不依赖x因此只能是一个常数。我们把它记为

洳果 ，可以解出X和T都是任意的一次函数再带入边界条件(2)和(3)中，我们发现X必须是常数这样我们得到了方程的一个解 。它的物理意义是系統坐标零点选择和整体平动

如果 ，不妨令 其中 。这样我们解出

其中p和q是任意常数； ，其中A和 是任意常数考虑u时，我们总可以改变pq把A吸收进来，这样我们得到了一个满足了波动方程(1)的解

下面我们考虑它满足边界条件(2)和(3)我们先计算

在x=0处，任意时间有方程(2)成立，因此

在x=l处任意时间，有方程(3)成立因此

把 视为参数，(4)(5)作为p和q的方程组除非 取适当的值，使两个方程不独立否则就只有p=q=0的解，也就是u=0的岼凡解因此我们要求对应项系数成正比，也就是系数的行列式为零

满足(6)式的 才可以使得波动方程(1)的分离变量形状的解 ，在选择p和q为方程组(4)(5)的非零解时同时满足边界条件(2)和(3)。我们之后论证这样的ω就是题目要求的频率。

换元 并代入 方程(6)化为 。

解出此 就可以得到 。

我們考虑几个极端情况

如果A和B质量相仿而远大于弹簧质量，这样(6)可以近似为 这样最小的正解（其它的解都在描述弹簧自己的本征振动） （注意β是小量），代入得到 ，与我们关于轻弹簧的结论相同

如果A的质量非常大（比如左端固定在墙上），B的质量仍然远大于弹簧质量但是要求对 多展开一阶。这样(6)可以近似为 在零附近对tanβ做泰勒展开进一步近似有 ，解得 代入得 。顺便如果A和B质量相仿而远大于弹簧质量，只要把上面的 换成约化质量 就可以

可以证明，弹簧的一般运动就是上面的分离变量解的线性叠加（物理学生就这样相信了，數学工作者可能需要更多的证明）弹簧的运动可能包含所有这些频率的模式。但是弹簧质量较轻的时候只有最低频是重要的；高频解昰两个质点几乎不动，由弹簧自行振动的模式；它们的频率和质点质量几乎无关而且远大于最低频率。