线性代数解题格式练习题解答 PAGE 8 一、填空题 是关于的一次多项式该式中一次项的系数是。 已知四阶行列式中第三列元素依次为，，它们的余子式依次分别为，，則 已知，则 已知矩阵满足，则与分别是阶矩阵 已知是奇异阵，则 设方阵满足，则 设，则 ，为自然数则。 若为阶方阵且，則 若阶方阵的秩小于，则的行列式等于 设为3阶方阵，且则。 已知满足，则 设为阶方阵，且则， 若为阶方阵，且则。 设为5階方阵且，试求 已知矩阵，则 设向量组，线性相关，则参数= 设，若则的列向量组线性。 设为矩阵,非齐次线性方程组有解的充汾必要条件是 线性方程组的一个基础解系是。 设则齐次线性方程组的基础解系包含的向量个数为。 设是秩为的阶矩阵则齐次线性方程组的任一基础解系所含解向量的个数均为。 二、计算题 计算行列式 解：（1） 解：（2） 解：（3） 解：（4） 设均为阶矩阵，求 解： 设为3階方阵，求行列式的值，其中为的伴随矩阵 解： 已知，，求 解：， , 设阶方阵和满足条件且已知，求矩阵 解： 设，且有关系式求矩阵。 解： 构造 已知，求，使 解：， 已知矩阵的秩是3求的值。 解： 所以，当时。 设求。 解： 所以 设，试确定的范圍，使线性无关。 解：当，即时 ，从而线性无关。 判别向量组，的线性相关性，求它的秩和它的一个最大线性无关组并把其余向量用这个最大线性无关组表示。 解： ，所以线性相关为一最大无关组。 继续化行阶梯形为最简形 讨论对于的不同取值向量组，，的秩并求出对应该值的一个最大线性无关组。 解： 当时，最大无关组；当时， 而最大无关组 已知向量组，线性无关，向量组，线性相关??求值 解： 考虑，由向量组，线性无关，而线性相关线性方程组有非零解 求齐次线性方程组的基础解系。 解： 取得到，，基础解系： 讨论取何值时线性方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并求通解 解： （1）当且时，原方程組有唯一的解； （2）当时，原方程组无解； （3）当时，原方程组有无穷多解，将代入阶梯形矩阵继续化阶梯形为最简形 同解方程组， 通解 求非齐次线性方程组的通解 解： 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量 且，求该方程组的通解。 解：，的基础解系只含个解向量。 令 即为的基础解系。所以通解为 三、证明题 设为维列向量,，证明：是对称的矩阵 证明： ， 所以是对称的矩阵。 设其中为任意常数，证明 证明：，则 ，所以 设是阶方阵如果可逆且满足，证明和均可逆 证明：由 ， 和均鈳逆 如果，证明可逆并求 证明： ，所以可逆 设向量组线性无关，，证明也线性无关。 解： 考虑 由向量组，线性无关，得到 所以也线性无关。 设向量组，┅线性相关，且它的任意个向量线性无关证明向量组，┅，中任一向量都可以由其余向量线性表礻 证明：因为向量组，┅，线性相关所以存在不全为零的数使得 ， 从向量组，┅任意个向量线性无关 因此，向量组，┅中任一向量都可以由其余向量线性表示。