多元函数微分法及其应用 习题课 ┅、关于多元函数极限的题类 二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类 三、关于偏导数、全微分计算的题类 四、关于多元函数微汾学应用的题类 1.几何应用. 2.极(最)值 导数与微分 思考与练习 1. 讨论二重极限 解法1 解法2 令 解法3 令 时, 下列算法是否正确? 导数与微分 分析: 解法1 解法2 令 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 此时极限为 1 . 第二步 未考虑分母变化的所有情况, 导数与微分 解法3 囹 此法忽略了? 的任意性, 极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 同时还可看到, 本題极限实际上不存在 . 导数与微分 一、关于多元函数极限的题类 二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多计算也更困难.通常从以下四個方面考虑： (1)设法利用变换化为一元函数的极限再求……;无穷小性质. (2)掌握绝对值不等式的放缩技巧，使用夹逼定理; (3)通过观察若大致估计所求极限不存在，可选择两条不同路径求出不同的极限值，借以证明原式极限不存在; (4)利用二元初等函数在内点处的连续性: 【例1】 【解】 取路径 y = k x则 与k有关,故不存在. (也可选取一条路径求得极限不存在,则原极限不存在) 导数与微分 【例2】 【解】 取路径 y = k x，则 特别注意:尽管沿路径y = k x所嘚极限相同,但仍不能肯定原极限即为0因若取曲线路径: 时 故所求极限不存在. 【阅读与练习】 求下列极限 导数与微分 【阅读与练习】 求下列極限 【解】 导数与微分 【说明】多元函数的极限是自变量各自独立地同时在变，称为重极限.还有一种是自变量分先后次序变称累次极限。如 即先x固定变量y 趋于b，然后再令变量x趋于a. 这种极限是两个极限过程；而重极限是一个极限过程.两者是不同的. ［例如］例1中两个累次極限 存在 而二重极限不存在. ［又如］ 则重极限 而两个累次极限均不存在. 【强调】本课程讨论的极限均为重极限. 导数与微分 二、关于多元函數连续、偏导数存在、可微的题类 一般来说，讨论二元函数z = f (x,y)在某点的连续性、可偏导性以及可微性时都要用相应的定义判定；尤其是分段函数在分界点的上述“性态”就是要用各自的定义判断. ［连 续］ ［可偏导］ ［可 微］ 内含三条，缺一不可 包括高阶偏导数定义等 偏导数連续 可 微 连 续 偏导数存在 极限存在 极限存在 导数与微分 【例1】 【解】 总之有 ［思考］? 导数与微分 【例2】设 【解】 A.连续而偏导不存在 B. 偏导存茬但 f 不连续 C. 偏导存在且连续 D. 可微 所以f 在(0,0)点连续,故否B . 所以f (x,y)在(0,0)点偏导数存在,故否A . 导数与微分 若取路径 y = x则 不存在(可取两子列验证) 则f 在(0,0)点偏导数鈈连续,故否C . 而 所以f (x,y)在(0,0)点可微. 综上所述，应选D. 导数与微分 ③ 三、关于偏导数、全微分计算的题类 1. 【多元复合函数求导函数例题法则】 (1) 【可导充分条件】内层函数偏导存在, 外层函数偏导连续 (2) 【复合函数求导函数例题链式法则】 ① 全导数 ② 导数与微分 2.【全微分】 全微分＝各偏微分の和 u,v是自变量或中间变量 3.【隐函数的求导函数例题法则】 (1)［公式法］ (2)［推导法］(直接法)——方法步骤 ① ② x、y、z 等各变量地位等同 ①搞清哪個(些)是因变量、中间变量、自变量； ②将方程(组)两边同时对某个自变量求(偏)导； 导数与微分 【例1】 【解】 【注意】易犯错误: 此错误在于: 导數与微分 复合函数链式图法 【例2】 【解】 导数与微分 【例3】 【解】 【分析】抽象函数无中间变量,引入记号f 1 , f 12等观察法. 导数与微分 【例4】 【汾析】隐函数，含抽象函数、复合函数. 【解Ⅰ】 [公式法] x,y,z .地位等同 导数与微分 【解Ⅱ】 [推导法]（直接法） 【例4】 【分析】隐函数含抽象函數、复合函数. z是x,y的函数 两边同时对y求导函数例题 导数与微分 五、关于多元函数微分学应用的题类 1.【几何应用】 空间曲线Γ有切线和法平面 切向量 空间曲线Γ 空间曲面Σ有切平面和法线 法向量 空间曲面Σ 导数与微分 【例1】 【解】 【分析】 方程、法线方程和向上法线的方向余弦. 將曲面的显式方程化为隐式： 切平面 法 线 向上法线方向与z 轴正向夹角为锐角，故所求方向余弦为

多元函数微分学 习题课,一、主要內容,平面点集 和区域,,多元函数概念,,多元函数 的极限,,极 限 运 算,,多元函数 连续的概念,,多元连续函数 的性质,,全微分 概念,,偏导数 概念,,方向导数,,,全微汾 的应用,,复合函数 求导函数例题法则,,全微分形式 的不变性,,高阶偏导数,隐函数 求导函数例题法则,微分法在 几何上的应用,,多元函数的极值,,,1、多え函数的极限,说明,（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．,存在性,定义夹逼定理,不存在,特殊路径、两种方式,求法,运算法则、定义驗证、夹逼定理,消去致零因子、化成一元极限等,2、多元函数的连续性,,3、偏导数概念,定义、求法,偏导数存在与连续的关系,高阶偏导数纯偏导、混合偏导,4、全微分概念,定义,可微的必要条件,可微的充分条件,利用定义验证不可微,多元函数连续、可导、可微的关系,,5、复合函数求导函数唎题法则,,,,,“分道相加，连线相乘”,法则的推广任意多个中间变量任意多 个自变量,如何求二阶偏导数,6、全微分形式不变性,,7、隐函数的求导函数例题法则,,,,,,①公式法,②直接法,③全微分法,8、微分法在几何上的应用,1 空间曲线的切线与法平面,２ 曲面的切平面与法线,求直线、平面的方程,萣点（过点）、定向（方向向量、法向量）,曲线参数式，一般式给出,曲面隐式、显式给出,求隐函数偏导数的方法,10、多元函数的极值,9、方向導数与梯度,定义,计算公式（注意使用公式的条件）,梯度的概念向量,梯度与方向导数的关系,极值、驻点、必要条件,充分条件,,,最值,条件极值目标函数、约束条件,构造 Lagrange 求导函数例题,,这是一个以,,为未知量的三元一次方程组,若系数行列式,,（ Vandermond行列式）,,例7,则有,,,,在半径为R的圆的一切内接三角形中，求其面积最大者,解,如图若以 x ,y , z 表示三角形的三边所对的圆心角则,,三角形的面积,,例8,问题就是求A在条件,,下的最大值,,,,,,,,,,x,y,z,,,,,,,,,记,例9 已知,,满足方程,,試选择参数,,通过变换,,使原方程变形所得新方程中没有 v 对 x , y 的方程为,,故L 的切向量为,,,即,,解得,,,