我们知道,在求极限时,常会遇到两个无穷小之比的极限或两个无穷大之比的极限这些极限有的存在,有的不存在。通常称这类极限為"未定式"利用第一章的方法求未定式的极限通常是困难的,本节介绍一种简单而有效的方法——洛必达(L'Hospital)法则。 1型未定式的极限求法 若当()時,与均趋于0,则称相应的极限为型未定式。 洛必达法则I 若与满足: (1) ,; (2) 在点的某去心邻域内,与均存在,且; (3) 存在(或为), 则有 (1) 法则I的证明从略 注 法则I是对時的型未定式给出的,对于()时的型未定式同样适应。 例1 求下列极限: (1) ; (2) 解 (1) 该...
我们知道,在求极限时,常会遇到两个无穷小之比的极限或两个无穷大の比的极限。这些极限有的存在,有的不存在通常称这类极限为"未定式"。利用第一章的方法求未定式的极限通常是困难的,本节介绍一种简單而有效的方法——洛必达(L'Hospital)法则
1。型未定式的极限求法 若当()时,与均趋于0,则称相应的极限为型未定式 洛必达法则I 若与满足: (1) ,; (2) 在点的某去心鄰域内,与均存在,且; (3) 存在(或为), 则有 (1) 法则I的证明从略。
注 法则I是对时的型未定式给出的,对于()时的型未定式同样适应 例1 求下列极限: (1) ; (2) 。 解 (1) 该极限為型,故 (2) 由于时,,故此极限为型。因此
在利用洛必达法则求极限时,若仍为型未定式,且函数与满足法则I的条件,则可再使用该法则。但在连续應用洛必达法则时,应注意每一步检验是否仍为未定式,不是未定式时不能再用该法则 例2 求。 解
在利用洛必达法则求极限时,还要注意尽量將式子化简以利于求导。 例3 求极限 (1) ; (2) 解 (1) 原式 ; (2) 原式。 2型未定式的极限求法 若当()时,与均趋于,则称相应的极限为型未定式。
解 原式 例5 设,求。 解 当时,对数函数于幂函数()均为增函数且趋于原极限为型未定式。 由例5可知,当时,对数函数的增长速度比幂函数慢。 例6 设,求 解 由于,指数函数和幂函数当时均为增函数,且当时均趋于。
故 由例6可知,当时,指数函数的增长速度比幂函数快。 在使用洛必达法则求未定式极限时,必须紸意一个问题:当不存在时,不一定不存在 例7 求。 解 此极限为型未定式若用洛必达法则,则得极限 。
由于为周期函数,上式的极限不存在,也不為但是 , 即原极限存在。 一般当用洛必达法则求不出未定式的极限时,要想其他办法求极限 某些极限可以先化为型或型未定式,再用洛必达法则求极限。
3型和型未定式 例8 求下列极限: (1) ; (2) 。 解 (1)这是型未定式,将其变形为 则当时视为型未定式,因此 (2) 这是型未定式,可先通分化为型,再求极限。