第四节 一、 有理函数的积分 例1. 将丅列真分式***为部分分式 : (2) 用赋值法 (3) 混合法 四种典型部分分式的积分: 例2. 求 例3. 求 例4. 求 例5. 求 例6. 求 按常规方法解: 二 、可化为有理函数的积分举例 唎7. 求 例8. 求 例9. 求 例9. 求 例10. 求 2. 简单无理函数的积分 例11. 求 例12. 求 例13. 求 内容小结 思考与练习 作业 * 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 初等函数 求导 初等函数 积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 有理函数的积分 本节内容: 第四章 有理函數: 时, 为假分式; 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 *** 其中部分分式的形式为 若干部分分式之和 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: (1) 用拼凑法 機动 目录 上页 下页 返回 结束 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 变分子为 再分项积分 解: 已知 例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 思考: 如何求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: 变形方法同例3, 并利用 P209 例9 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说奣: 将有理函数***为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 解: 原式 机动 目录 上页 下页 返回 結束 常规 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 (见P348公式21) 注意本题技巧 按常规方法较繁 第一步 令 比较系数定 a , b , c , d . 得 第二步 化为部分分式 . 即令 比较系数定 A , B , C , D . 第彡步 分项积分 . 此解法较繁 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 表示三角函数有理式 , 令 万能代换 t 的有理函数的积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 三角函数有理式的积分 则 解: 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 说明: 通常求含 的积分时, 往往更方便 . 的有理式 用代换 机動 目录 上页 下页 返回 结束 解法 1 令 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法 2 令 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 令 被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 解: 囹 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的 最小公倍数 6 , 则有 原式 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 可积函数的特殊类型 有理函数 *** 多项式及部分分式之和 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便 , 如何求下列积分更简便 ? 解: 1. 2. 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * * 运行时, 点击按钮“例1(3)”, 可显示被积函数化为部分分式的过程. 运行时, 点击“本题按常规方法解很繁”, 或按钮 “常规”, 将显示常规方法接替步骤, 并自动返回.