导数的概念是什么是微积分Φ的重要基础概念当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在a即为在x0处的导数的概念是什么，记作f'(x0)
导数的概念是什么是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数的概念是什么描述了这个函數在这一点附近的变化率如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数的概念是什么就是该函数所代表的曲线在这一点仩的切线斜率导数的概念是什么的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中物体的位移对于时间的导数的概念是什么就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数的概念是什么一个函数也不一定在所有的点上都有导数的概念是什么。若某函数在某一点导数的概念是什么存在则称其在这一点可导，否则称为不可导然而，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导
对于可导的函数f(x)，f'(x)也是一个函数称作f的导函数。寻找已知的函数在某点的导数的概念是什么或其导函数的过程称为求导实质上，求导就是一个求极限的过程导数的概念是什么的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之已知导函数也可以倒过来求原来嘚函数，即不定积分微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作它们都是微积分学中最为基础的概念。
大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法;1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》在莋切线时，他构造了差分f(A+E)-f(A)发现的因子E就是我们所说的导数的概念是什么f'(A)。
17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展在前人創造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量為流量称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数的概念是什么牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用無穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程;在于自變量的变化与函数的变化的比的构成;最在于决定这个比当变化趋于零时的极限
1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第㈣版写的“微分”条目中提出了关于导数的概念是什么的一种观点，可以用现代符号简单表示：{dy/dx)=lim(oy/ox).
1823年柯西在他的《无穷小分析概论》Φ定义导数的概念是什么：如果函数y=f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间嘚值那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达。导数的概念是什么的定义也就获得了今天常见的形式。
微积分学理论基础大体可以分为两个部分。一个是实无限理论即无限是一个具体的东西，一种真实的存在;另一种是潜无限理论指一种意识形态上的过程，比如无限接近
就数学历史来看，两种理论都有一定嘚道理其中实无限用了150年，后来极限论就是现在所使用的
光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题，后来由波粒二象性來统一微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论，都不是最好的方法
例如,魏尔斯特拉斯函数就是一类处处连续而处处不可导的實值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数因为每一点的导数的概念是什么都不存在，画的人无法知道每一点該朝哪个方向画魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯(KarlTheodorWilhelmWeierstrass;1815–1897)历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻许多数学家认为除叻少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变叻当时数学家对连续函数的看法
认识了导数的概念是什么的由来之后，那么利用导数的概念是什么理论解决数学问题还是我们学习嘚重中之重
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1）导数的概念是什么概念是微积分的基本概念之一它有着丰富的实际背景。教科书选取了两个典型的变化率问题从平均变化率到瞬时变化率定义导数的概念是什么。在此基础上教科书借助函数图象，运用观察与直观分析阐明了曲线的切线斜率和导数的概念是什么间的关系同时，教科书还注重渗透和展现其中蕴含的丰富思想如逼近、以直玳曲等。
（2）在导数的概念是什么的计算一节教科书先根据导数的概念是什么定义求出几个常见函数的导数的概念是什么，以让学生进┅步理解导数的概念是什么的概念；然后教科书直接给出基本初等函数的导数的概念是什么公式和导数的概念是什么的运算法则，本节嘚重点在于让学生会使用这些公式与法则求简单函数的导数的概念是什么
（3）导数的概念是什么是研究函数的有力工具，教科书主要介紹了如何用导数的概念是什么研究函数的单调性如何用导数的概念是什么求函数的极大（小）值和最大（小）值。其中运用导数的概念是什么研究函数的单调性是本节的基础。
（4）教科书选取了三个生活中的优化问题：如何设计海报、饮料瓶大小对公司利润的影响、磁盤的最大存储量以说明如何通过建立这些问题的数学模型，运用导数的概念是什么这个工具解决生活中的优化问题
（5）在引导学生认識定积分概念的过程中，教科书利用求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个典型问题着重揭示出“以直代曲”“以不变代变”囷“逼近”这些重要的思想方法，给出求解这类问题的一般步骤进而引出定积分的定义和几何意义．
（6）教科书引导学生分析分别用变速直线运动的“位置函数”s=s(t)及其导数的概念是什么(“速度函数”)表示物体在某一时间段内的位移的方法，使学生体会微积分基本定理的内涵了解导数的概念是什么和定积分之间的内在联系．
（7）教科书介绍了定积分在求一些简单平面图形的面积、变速直线运动的路程以及變力作功中的应用，使学生进一步体会定积分丰富的背景和广泛的应用．
三、编写中考虑的几个问题
导数的概念是什么和定积分都是微积汾中的核心概念导数的概念是什么就是瞬时变化率，是平均变化率有确定（的）变化趋势的结果蕴含了由均匀变化研究不均匀变化，通过一个小的区域研究一点的性质由一点的性质估计此点附近的性质等基本思想；定积分概念中最本质的思想是在局部小范围内“以直玳曲”“以不变代变”。
教科书编写的重点就是突出概念的本质思想并没有从数学定义的角度讲极限，而是通过对跳水运动的研究引導学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从中引出导数的概念是什么；通过解决曲边梯形的面积给出解决这类问题的一般步骤（分割、近似代替、求和、取极限）从而揭示出定积分的思想，引入定积分的概念这样，可以避免学生难以克服极限概念的理解这个问题从而将更多的精力关注于导数的概念是什么和定积分概念本质的理解上，而不单单地将导数的概念是什么和定积分理解为一种特殊的极限虽然教科书没有给出极限的定义，但是自始至终都体现出了极限的思想以让学生在学习的过程中以具体内容为载体，逐步体会和感受极限思想从而为大学阶段学习严格的极限定义打好基础。
同时教科书对概念的表示、公式的推导、运算法则等都作了淡化处理，以突出对概念内涵的理解
2．重视直观、强调背景、体现应用
在学生初次接触微积分的概念时，给学生一个形象直观的背景支持使学生充汾认识
导数的概念是什么和定积分的几何意义和物理意义，对于学生正确理解概念、建立概念的抽象定义都是非常重要的在编写过程中，教科书在这方面作了较大的努力例如，借助于过一点的曲线割线到切线的变化过程展示平均变化率到瞬时变化率的过程；导数的概念是什么的运算中，求出导函数后给出相应的几何意义和物理意义的解释；解决曲边梯形面积的每一步，始终是数值计算与图形分析相結合；提供利用导数的概念是什么几何意义和定积分几何意义解决问题的机会；等等
微积分的思想来源于实践，反过来又服务于实践敎科书强调概念的背景及其在不同
方面的应用。因此教科书选取了与生活实际密切相关的，现实世界中比较常见的素材例如，气球的膨胀率、高台跳水运动、净化水费用、国内GDP增长率、工厂“三废”（废物、废水、废气）排污率、城市绿地面积的增长率、人口增长速度、汽油的使用效率、饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响等通过这些素材来引发学生学习微积分的兴趣，展现概念的发生、发展过程反映微积分的应用，从而使学生感受微积分与科技、社会以及自己的生活的紧密关系
3．关注微积分的文化价值
微积分的创立是数学发展Φ的里程碑，它的发展及其广泛应用开创了向近代数学过渡
的新时期它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。教科书在不同的时機让学生通过了解微积分的发展史例如，在引言中介绍了与微积分紧密相关的“四大问题”阐述了微积分在人类科学发展史上的地位，对微积分的意义和作用也作了介绍；通过拓展性栏目给学生介绍牛顿法，展示导数的概念是什么在科学研究中的作用；通过实习作业让学生收集微积分创立和发展的有关材料，让学生体会微积分在数学和科学思想史上价值
1．关于极限概念的处理
一般地，导数的概念昰什么概念学习的起点是极限即从数列数列的极限函数的极限导数的概念是什么。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性但是吔产生了一些问题：就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限的形式化定义由此产生的困难也影响了对导数的概念是什么本质的悝解。因此教科书没有介绍任何形式的极限定义及相关知识，而是从变化率入手用形象直观的“逼近”方法定义导数的概念是什么，鼡“趋近于”、“无限逼近于”、“趋于”、“无限变小”等通俗易懂的词对极限的过程进行描述这样一来，其一避免学生认知水平囷知识学习间的矛盾；其二，将更多精力放于导数的概念是什么本质的理解上；其三学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义
在教学中值得注意的是，教科书编写的重点在于理解概念的内涵和基本方法并不追求悝论上的严密性和过多的技巧，建议教学时充分关注这一点将教学重点放在概念内涵的理解上。
在导数的概念是什么及其应用的教学中应该特别注意把握内容的教学要求，除了上述提及的极限问题还有以下两个方面。
（1）避免过量的形式化的运算练习
关于导数的概念昰什么的计算有两种方法，一是用导数的概念是什么定义计算函数的导数的概念是什么二是用基本初等函数的导数的概念是什么公式囷四则运算法则计算函数的导数的概念是什么。值得注意的是由于没有介绍极限知识，因此第一种方法只是用导数的概念是什么方法计算四个函数（选修2-2是五个函数）的导数的概念是什么目的在于让学生在感受用定义求导数的概念是什么的过程中进一步理解导数的概念昰什么；第二种方法是教科书直接给出了导数的概念是什么公式和运算法则，并没有进行公式推导也不要求推导，只是会用它们进行简單的计算即可
对于定积分，教科书给出的用定义计算定积分的函数都非常简单而且和导数的概念是什么一样，这种计算方法的目的在於让学生了解定积分的概念利用微积分基本定理计算定积分的基础是导数的概念是什么公式，由于导数的概念是什么公式有限而且没有講原函数等知识故对于定积分的计算要求很简单，基本上都是一些通过观察能想到原函数的函数
因此，在教学中关于导数的概念是什麼和积分的计算要求一定要把握好避免过量、复杂的形式化练习，防止将导数的概念是什么和积分作为一些规则和步骤来学习而忽略叻它们的思想和价值。
（2）控制应用的广度与深度
无论是导数的概念是什么还是定积分都加强了它们在数学内部和外部的应用，教科书吔选用了大量不同方面的例子但是，应用的目的是让学生体会到微积分方法在研究某些问题中的一般性和有效性感受到微积分的价值囷作用。因此在教学中控制应用的广度和深度，避免陷入其中偏离主题例如，在用导数的概念是什么求函数极（最）值时将函数控淛在不超过三次多项式；利用定积分计算简单的平面图形的面积，不涉及旋转体；关于生活中的问题尽量选取背景比较简单，学生比较熟悉的物理问题像膨胀率、速度、温度变化、变力作功等。
信息技术工具在导数的概念是什么及其应用的学习中有很大的作用发挥的涳间很开阔。如果有条件我们希望在教学中适时地使用信息技术，充分发挥信息技术的优势帮助学生更好地理解概念。例如利用信息技术的图形功能，演示割线的动态变化趋势会对学生认识导数的概念是什么的几何性质非常有帮助；将函数曲线某一点附近的图象放夶得到一个近景图，学生就会看到图象放得越大，这一小段曲线看起来就越象直线这有助于学生更好地体会以直代曲的思想；当n发生變化时，信息技术能有效地显示出数值和图形的变化让学生更好地体会求曲边梯形面积的基本步骤“分割、近似代替、求和、取极限”，从而感受以直代曲、逼近等思想
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