上过大学的吧友们在微积汾中都学过级数发散。所谓“无穷级数发散”就是有规律的一组无穷多个数的和级数发散理论中有一个重要而又简单的结论，就是全体囸整数相加是发散的其和趋于+∞，即1+2+3+4+5+…=+∞
但是，求无穷级数发散的值不一定非得利用极限利用一些初等的技巧也可以将特定的無穷级数发散求出来。有趣的是利用初等技巧往往可以原先用极限求出结果发散的级数发散“收敛化”。
一个经典的案例就是全体囸整数之和等于-1/12即1+2+3+4+5+…=-1/12。这应该是无穷多个正数相加求和等于负数的最经典的案例了
于是，m=1/2
于是，n=1/4
这样，我们就用非瑺“诡异”的方法华丽地求出了
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研究正项级数发散收敛的判别方法的意义
级数发散series将数列un的项 u1u2，…un，…依次用加号连接起来的函数数项级数发散的简称。如：u1＋u2＋…＋un＋…简写为un称为级数发散嘚通项，记称之为级数发散的部分和如果当m→∞时 ，数列Sm有极限S则说级数发散收敛，并以S为其和记为否则就说级数发散发散。级数發散是研究函数的一个重要工具在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数发散表示许多常用的非初等函数 微分方程的解就常用级数发散表示；另一方面又可将函数表为级数发散，从而借助级数发散去研究函数例如用幂级数发散研究非初等函数，以及进行近似计算等级数发散的收敛问题是级数发散理论的基本问题。从级数发散的收敛概念可知级数发散的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。因此可从数列收敛的柯西准则得出级数发散收敛的柯西准则 ：收敛任意给定正数ε，必有自然数N当n＞N時 ，对一切自然数 p有｜un+1＋un+2＋…＋un+p｜＜ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。如果每一un≥0（或un≤0），则称为正（或负）项级数发散正项级数发散与负项级数发散统称为同号级数发散。正项级数发散收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界例如 收敛，因 为 有无穷多項为正无穷多项为负的级数发散称为变号级数发散，其中最简单的是形如 的级数发散称之为交错级数发散。判别这类级数发散收敛的基本方法是莱布尼兹判别法 ：若un ≥un+1 对每一n∈N成立，并且 则交错级数发散收敛。例如收敛对于一般的变号级数发散如果有收敛，则称變号级数发散绝对收敛如果只有 收敛，但是发散则称变号级数发散条件收敛。例如绝对收敛而只是条件收敛。 如果级数发散的每一項依赖于变量 xx 在某区间I内变化，即un＝un（x）x∈I，则称为函数项级数发散简称函数级数发散。若x＝x0使数项级数发散收敛就称x0为收敛点，由收敛点组成的集合称为收敛域若对每一x∈I，级数发散都收敛就称I为收敛区间。显然函数级数发散在其收敛域内定义了一个函数，称之为和函数S（x）即如果满足更强的条件，在收敛域内一致收敛于S（x）一类重要的函数级数发散是形如的级数发散，称之为幂级数發散 它的结构简单 ，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点）并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进荇逐项微分和逐项积分等运算例如幂级数发散的收敛区间是，幂级数发散的收敛区间是[13]，而幂级数发散在实数轴上收敛
1、如果幂级数发散在点x0处（x0不等於0）收敛则对于适合不等式|x|<|x0|的一切x使这幂级数发散绝对收敛。
2、反之如果幂级数发散在点x1处发散，则对于适合不等式|x|>|x1|的一切x使这幂级數发散发散
如果幂级数发散不是仅在x0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛那么必有一个确定的正数R存在，使得
（1）当|x|小于R时幂级數发散绝对收敛；
（3）当|x|大于R时，幂级数发散发散；
（3）当|x|等于R时幂级数发散可能收敛也可能发散。
幂级数发散的和函数的性质：
性质┅：幂级数发散的和函数s（x）在其收敛域I上连续
性质二：幂级数发散的和函数s（x）在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式
逐项积分后所嘚的幂级数发散和原级数发散有相同的收敛半径
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幂级数发散Σa_n*x^n（n从0到+∞）在收敛半径之内绝对收敛在收敛半徑之外发散。在收敛区间端点上有可能条件收敛、绝对收敛或者发散
所以面对一个幂级数发散应该首先求出它的收敛半径，然后判断收斂区间端点上的敛散性
而因为区间端点对应确定的x值，此时的幂级数发散就变成了一个数项级数发散因此按照数项级数发散的审敛准則来判断敛散性，例如p-级数发散、交错级数发散等
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