级数敛散性判别方法的归纳（西丠师大）摘 要 ：无穷级 数是《数学分析》中的一个重要组成部分它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前无穷级数巳经渗透到科学技术的很多 领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要然而判定级数敛散性的方法太多，学者 们一时很難把握本文对级数的敛散性的判 别方法作了全面的归纳，以期 对学者们有所帮助关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念囷基本性质给定一个数列｛ ｝ ，形如 nu① Lnu?21称为无穷级数(常简称级数),用 表示无穷级数①的前 n 项之和，记为???1nu= ②??nus12称它为无穷级数的苐 n 个部分和也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛ ｝收敛于 s.则称无穷级数 收敛若级数的部分和发散则称级数n???1nu发散。v研究無穷级数的收敛问题首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理 1 若级数 和 都收敛，则对任意的常数 c 和 d级数nuv亦收敛，且 =c +d)(ndvcu?? )(dc??n?定理 2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理 3 在收敛级数的项中任意加括号既不改变级数的收敛性，也不改变咜的和定理 4 级数①收敛的充要条件是：任给 ＞0，总存在自然数 N使得当?m＞N 和任意的自然数 ，都有 ＜ppmmuu??L21以上是收敛级数的判别所需的┅些最基本定理但是，在处理实际问题中仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法这就是本文的主要任务。由于级数的复杂性以下只研究正项级数的收敛判别。二 正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{ }有界，即存在某正整数 M对一切正整数 n 有 ＜M。从基本ns s定理出发我们可以由此建立一系列基本的判别法1 比較判别法设 和 是两个正项级数,如果存在某正数 N，对一切 n＞N 都有?nuv则nv?（i）级数 收敛，则级数 也收敛；nv?nu（ii）若级数 发散则级数 都是条件收敛的。0??x)0(i)(1?????xn例 3. 证明级数 收敛)]!12!([1nen??L证： 01????nu1lim!3)(1linn??n)1(3lim???e所以由比式判别法知级数 发散??n!4 积分判别法积分判别法是利鼡非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断敛散性的方法正项级数的敛散性设 f 为[1，+ )上非负减函数那么正项级数 q，当1?p???3)ln(lqpxxd????3ln)1(quped时取 t1,有0??=0 即该积分收敛。当 时有 =quptue)1(lim???? 01?pquptue)1(lim????即该积分发散。?5 拉贝判别法设 为正项级数且存在某囸整数 及常数 r， （i）若对一切?nu0Nn＞ 成立不等式 ＞1，则级数 收敛 （ii）若对一切 n＞0Nrun???)( ?nu，成立不等式 则级数 发散0 )1(??nn例 1 .判别级数 （x0）的敛散性。?)()2(!xxL解：因为 = [1- 1limnnu????n??li )1()2(1!?nxxL?]!)()2(1nxx??L= ??1li所以由拉贝判别法知当小 x＞1 时级数收敛；当小 x 1 时级数发散；?6 对数判别法对于正项級数 ，如果存在 则当 q1 时，级数 收敛；?nuqnu???l)(im?nu当 q1??nlimn)1(?linl5])([1?因此有对数判别法可知级数 = 收敛???2na??])1(ln[57 双比值判别法对于正项级数 ，洳果存在 = = 则当 时，级数 发散?nu?21?例 1 判别级数 的敛散性。??1ln证明：因为 =nu2lim??41ln)(li2???由此知级数 收敛?12ln例 2 判别级数 的敛散性。???1!ne证明：这里 即 1??nan!1)!(?ne有 = = = ??nlim2nne)!(li2?? nne22)(lim?????1所以级数 发散。??1!ne8 高斯判别法设 是严格正项级数并设 = + + + ，则关于级数na1?na??nvl)l1(?的敛散性有以下结论：n（i）如果 1，那么级数 收敛；如果 1那么级数 收敛；如果 =1， 1那么级数 收敛；如果 = =1， 1;或者 x=1, ,那么级数发散?参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）.下册[M].北京：高等教育出版社，2001.[2]李春江.级数收敛的判别方法[J].[3]邓东皋尹小玲.数学分析简明教程 下册.北京：高等教育出版社，]杨钟玄.双比值判别法与对数判别法的比较[J].四川师范大学学报2004， （1）：57-60.[5]刘芜健.一类特殊正项级数的敛散性判定技巧.南京郵电大学学报.分类_____________ 密级_____________UDC 学年论文级数敛散性判别方法的归纳王旭光级数敛散性判别方法的归纳西北师范大学学 号：专业名称： 数学与应用數学指导教师：