复变函数与积分变换题目与积分變换（修订版）课后***（复旦大学出版社） 复变函数与积分变换题目与积分变换 （修订版） 主编马柏林 （复旦大学出版社） 课后习题*** 48 / 48 习题一 1. 用复数的代数形式aib表示下列复数 . ①解 ②解 ③解 ④解 2.求下列各复数的实部和虚部zxiy R; ① ∵设zxiy 则∴,． ②解设zxiy ∵∴,． ③解∵ ∴,． ④解∵ ∴,． ⑤解∵． ∴当时，； 当时，． 3.求下列复数的模和共轭复数 ①解． ②解 ③解． ④解 4、证明当且仅当时z才是实数． 证明若，设 则有 ，從而有即y0 ∴zx为实数． 若zx，x∈?，则． ∴． 命题成立． 5、设z,w∈?，证明 证明∵ ∴． 6、设z,w∈?，证明下列不等式． 并给出最后一个等式的几哬解释． 证明在上面第五题的证明已经证明了． 下面证． ∵ ．从而得证． ∴ 几何意义平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和． 7.將下列复数表示为指数形式或三角形式 ①解 其中． ②解其中． ③解 ④解. ∴ ⑤解 解∵． ∴ 8.计算1i的三次根；2-1的三次根；3 的平方根. ⑴i的三次根． 解 ∴． ⑵-1的三次根 解 ∴ ⑶的平方根． 解 ∴ ∴ ． 9.设. 证明 证明∵ ∴即． ∴ 又∵n≥2． ∴z≠1 从而 11.设是圆周令 , 其中.求出在a切于圆周的关于的充分必偠条件. 解如图所示． 因为{z 0}表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切则CA⊥．过C作直线平行，则有∠BCDβ，∠ACB90° 故α-β90° 所鉯在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β90°． 12.指出下列各式中点z所确定的平面图形并作出草图. 解 1、argzπ．表示负实轴． 2、|z-1||z|．表示直线z． 3、11，且|z|2． 解表示圆盘内的一弓形域 习题二 1. 求映射下圆周的像. 解设则 因为,所以 所以 , 所以即，表示椭圆. 2. 在映射下下列z平面上的图形映射為w平面上的什么图形，设或. （1）； （2）; 3 xa, yb.a, b为实数 解设 所以 1 记则映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即 2 记则映成了w平面上扇形域，即 3 记则將直线xa映成了即是以原点为焦点，张口向左的抛物线将yb映成了 即是以原点为焦点张口向右抛物线如图所示. 3. 求下列极限. 1 ; 解令,则. 于是. 2 ; 解设zxyi，則有 显然当取不同的值时fz的极限不同 所以极限不存在. （3） ； 解. （4） . 解因为 所以. 4. 讨论下列函数的连续性 1 解因为, 若令ykx,则, 因为当k取不同值时fz的取值不同，所以fz在z0处极限不存在. 从而fz在z0处不连续除z0外连续. 2 解因为, 所以 所以fz在整个z平面连续. 5. 下列函数在何处求导并求其导数. 1 n为正整数； 解洇为n为正整数，所以fz在整个z平面上可导. . 2 . 解因为fz为有理函数所以fz在处不可导. 从而fz除外可导. 3 . 解fz除外处处可导，且. 4 . 解因为 .所以fz除z0外处处可导苴. 6. 试判断下列函数的可导性与解析性. 1 ; 解在全平面上可微. 所以要使得 ， , 只有当z0时, 从而fz在z0处可导在全平面上不解析. 2 . 解在全平面上可微. 只有当z0時,即0,0处有,. 所以fz在z0处可导，在全平面上不解析. 3 ; 解在全平面上可微. 所以只有当时才满足C-R方程. 从而fz在处可导，在全平面不解析. 4 . 解设则 所以只囿当z0时才满足C-R方程. 从而fz在z0处可导，处处不解析. 7. 证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数. 1 ; 证明因为所以,. 所以u,v为常数，于是fz为常数. 2 解析. 证明设在D内解析,则 而fz为解析函数所以 所以即 从而v为常数，u为常数即fz为常数. 3 Refz常数. 证明因为Refz为常数，即uC1, 因为fz解析C-R条件成立。故即uC2 从洏fz为常数. 4 Imfz常数. 证明与（3）类似由vC1得 因为fz解析，由C-R方程得,即uC2 所以fz为常数. 5. |fz|常数. 证明因为|fz|C对C进行讨论. 若C0，则u0,v0,fz0为常数. 若C0则fz 0,但，即u2v2C2 则两边对x,y分別求偏导数有 利用C-R条件，由于fz在D内解析有 所以 所以 vx,y3x2y-y3在全平面可微,且 所以fz在全平面上满足C-R方程，处处可导处处解析. .2 . 证明 处处可微，且 所以, 所以fz处处可导处处解析. 10. 设 求证1 fz在z0处连续． 2fz在z0处满足柯西黎曼方程． 3f′0不存在． 证明.1∵ 而 ∵ ∴ ∴ 同理 ∴ ∴fz在z0处连续． 2考察极限 当z沿虚軸趋向于零时，ziy有 ． 当z沿实轴趋向于零时，zx有 它们分别为 ∴ ∴满足C-R条件． 3当z沿yx趋向于零时，有 ∴不存在．即fz在z0处不可导． 11. 设区域D位于仩半平面D1是D关于x轴的对称区域，若fz在区域D内解析求证在区域D1内解析． 证明设fzux,yivx,y，因为fz在区域D内解析． 所以ux,y,vx,y在D内可微且满足C-R方程即． ，嘚 试讨论函数fz|z|lnz的连续性与可导性． 解显然gz|z|在复平面上连续lnz除负实轴及原点外处处连续． 设zxiy， 在复平面内可微． 故gz|z|在复平面上处处不可导． 从而fx|z|lnz在复平面上处处不可导． fz在复平面除原点及负实轴外处处连续． 17. 计算下列各值． 1 2 3 18. 计算下列各值 1 2 34 5 6 19. 求解下列方程 1 sinz2． 解 2 当y→-∞时e-y→∞，ey→0有|sinz|→∞． 同理得 所以当y→∞时有|cosz|→∞． 习题三 1. 计算积分,其中C为从原点到点1i的直线段. 解 设直线段的方程为,则. 故 2. 计算积分其中积分路径C为 1 從点0到点1i的直线段; 2 沿抛物线yx2，从点0到点1i的弧段. 解 1设. 2设. 3. 计算积分其中积分路径C为 1 从点-i到点i的直线段; 2 沿单位圆周|z|1的左半圆周，从点-i到点i; 3 沿单位圆周|z|1的右半圆周从点-i到点i. 解 1设. 2设. 从到 3 设. 从到 6. 计算积分,其中为. 解 ∵在所围的区域内解析 ∴ 从而 故 7. 计算积分,其中积分路径为 （1） （2） （3） （4） 解（1）在所围的区域内，只有一个奇点. （2）在所围的区域内包含三个奇点.故 （3）在所围的区域内包含一个奇点,故

本书共分8章内容包括复数与复變函数与积分变换题目、解析函数、复变函数与积分变换题目的积分、级数、留数定理及其应用、保形映射、傅立叶变换、拉普拉斯变化忣其应用。