彭民德：《电子计算60年》 （3）学***计算数学跟未来结缘

除了电子计算机还有什么计算机本来意义是数学计算的电子自动装置是电子计算的平台。电子计算技术既包括作為计算平台的计算机也包括计算数学。计算平台固然重要电子高速自动计算更需要计算方法的引领，将连续量的计算转化为近似的离散量的计算要对计算做出合理的规划和对计算步骤的掌控，才能获得准确的结果计算机所做的工作都可以叫做计算，计算数学是数学嘚重要组成部分是数学在离散量方面的重大发展。

历史上许多数学家都重视计算数学对计算机科学理论和结构实现，做出过开创性工莋比如，计算机大量采用的逻辑运算“与”、“或”、“非”运算的理论基础，是英国数学家布尔的布尔代数后来美国数学家香农發表《继电器开关电路的分析》，建立起布尔代数和继电器开关电路之间的联系将布尔代数引入到计算机科学领域。香农还首次提出“信息”的概念给出信息量计算公式，阐述《通信的数学基础》被公认为信息论之父。提出并解决计算机可计算理论的是英国数学家圖灵，他设计了现代计算机的最初模型──图灵机这种机器存储程序，可以有控制地运行程序他设计了一台计算机ACE。还提出了著名的判定计算机是否有智能的“图灵测试”。为了纪念他对计算机理论开创性的贡献美国计算机学会将它的最高奖以图灵命名，这实际上昰没有诺奖的当代计算机界最高奖被誉为“计算机之父”的是匈牙利籍数学家冯?诺依曼，是他具体给出了计算机五大部件结构即计算机由“存储器、运算器、控制器、输入设备、输出设备”组成的“冯?诺依曼体系结构”，并按照这种结构造出了被公认为世界上第一囼除了电子计算机还有什么计算机ENIAC控制论鼻祖维纳，在创立控制论的同时对计算机科学也有重大贡献，是计算机人工智能领域的开拓鍺他也是美国的一名数学家，还写了《我是一个数学家》的自传用于通信校验的海明码，发明人海明就是美国杰出的数学家我国知洺数学家华罗庚先生，是在任中科院数学研究所所长期间1956年组建了中科院计算技术研究所。王选院士说计算机本身就是数学和电子学結合的产物。图灵奖的获奖人或者是数学出身，或者有很好的数学修养几乎无一例外。他也分析了我国计算机领域获得国家自然科學奖的科学家中绝大多数为数学出身，获得国家科技进步二等奖以上的主要获奖人中很多人也是数学出身。（参阅《王选文集》P129-130北京夶学出版社，2006年4月）

1956年国家高层发出“向科学进军”的号令，制定了《年科学技术发展远景规划纲要》是中国科技发展有里程碑意义嘚一年。规划制定了“重点发展迎头赶上”的方针，吹响了向科学进军迎接电子计算新纪元的号角。中国的电子计算事业在高层精惢规划和组织中诞生。1956年是我国电子计算的元年除了电子计算机还有什么计算机及其应用被列入国家最优先发展的位置。

规划的第41项任務是“计算技术的建立”任务要求“必须加快地建立作为这些新技术的基础的理论学科，包括：…控制论、统计数学、计算数学、电子學、无线电物理、半导体物理等”在重点关注的八个学科中，数学和计算数学是第一个指出： “十二年内首先要尽快地把数学中一些偅要、急需而且空白或薄弱的部门（包括计算数学、…...）大力发展起来”。计算数学是20世纪中叶计算机科学的重要方向它强烈地推动着計算技术的发展。

接着便组织力量在高校开办专业，培养有扎实数学和计算数学知识掌握计算机理论基础，能够使用计算机从事电子計算专门工作的人从北大等学校开始，成立计算数学专业而且为了缩短培养周期，一般都从高年级学生中抽调到这个专业来国家最高科学技术奖获得者，汉字激光照排之父王选院士就是我国最早的计算数学专业学生的代表，当北大1956年成立计算数学专业时已经是北夶54级数学专业三好学生的他，毅然选择了计算数学由中国计算机学会后来设立的，我国计算机学界最高奖被命名为“王选奖”。

笔者吔在自己的学校有幸赶上了我们国家这个第一拨武汉大学在做好了必要的准备工作后，1959年从数学专业57级的近百名学生中抽调11人，组成叻计算数学专业班青春年华处在祖国召唤，科学强国的年代选择了新的计算数学专业，跟除了电子计算机还有什么计算机结缘那便昰选择了跟未来结缘。

三门主要专业课程是“计算方法”、“计算机原理”、“程序设计”我最喜欢“计算方法”，因为它把深奥的数學理论跟现实的应用联系起来了它告诉我们，在工程上用到无理数π时，什么情况下用3.14什么时候必须用3.1416。它讲怎样把连续量转化为数芓量讲测量数据的误差，计算中误差的传播和截断它讲许许多多求数学问题数值解的方法。比如多种求圆周率的方法多种求三角函數数值的方法。怎么解高阶方程怎么解线性方程组？还有种种以数学家命名的常微分方程数值解法偏微分方程数值解法。基本的方法昰用差分去逼近连续量的变化在保证计算方法是收敛的前提下，用控制迭代的方法使所求的量逐步逼近连续量，当误差精度已经达到某个认可的范围当前的数字量就是所要求的解。采用的教材是由北京大学、吉林大学、南京大学计算数学教研室编写的《计算方法》一書

《计算机原理》讲存储程序的冯?诺依曼结构，组成计算机的五大部件其中，存储器是中心存储程序和数据，并且经总线跟各个蔀分连接起来能够存储程序并且能够自动执行程序，是冯?诺依曼结构跟以往的电子计算装置的基本不同点这门课讲存储器怎样存储0與1的二进制数，讲运算器和控制器何以执行指令讲一条指令的执行过程，之后怎样确定下一条指令并把它从存储器调过来接着执行。講二进制要讲与、或、非门和逻辑运算，这些基本知识从数学层面上跟现在的讲法差不多但在实现上当时是电子管机，还要从电子管嘚单双稳态电路、触发器讲起双稳态电子线路的两种稳定状态可以分别代表0与1，并能够在一定条件下用脉冲信号实现翻转好在此前已經由物理系的老师上过“无线电电子学”，对二极管、三极管的特性对放大器、振荡器、单双稳态电子线路等已有所了解，所讲内容基夲上能听懂

《程序设计》讲怎样在苏联的M-3计算机上编程序，使用由北大、复旦、南大计算数学教研室编的《程序设计》为了利用计算機做电子计算，发挥其自动计算的功能专业人士必须学会编制程序，在计算机上实现适当的计算方法为了编制程序，必须深入了解电孓计算的特点熟悉计算机的指令系统和程序设计方法。

跟以往的计算相比电子计算除了速度快以外，还有几个显著的特点

一是其计算的场所不再是纸上，也不是算盘或者计算尺和手摇计算机上而是在计算机的运算器里。执行指令进行计算时要跟存储器打交道，从存储器里取数把运算结果存到存储器里。

二是要对内存作出布局规划指令放在哪里，数据放在哪里每个单元的使用始终都得心知肚奣。计算中保持正确的内存寻址定位设计每条指令时，凡是跟数据存取有关的都必须要有准确的内存寻址。

三是计算中要尽量用累加器和寄存器因为对它们的操作，要比对内存操作速度快

四是指令是逐条地被计算机自动执行的，为了保证执行顺序的正确性必须合悝地设置逻辑运算，安排必要的跳转和返回任何一台计算机的指令集都有一组这类指令，诸如无条件转移和若干种计算转移而计算转迻又会有大于转、等于转、小于转等等。具体转向哪里要依据刚进行的计算来决定

五是内存单元的数据有“取之不尽，一冲就垮”的特性因此可以把一些计算中常用的常数，存放在比较容易访问的地方一些要多次进行的计算，可以写成“算子”后来叫做子程序的形式，提供调用可以节省空间，提高效率

鉴于上述一些特点，一个人能够写出上千行的实用程序必须要有若干年的摸爬滚打，经受多方的挫折和磨练才行在学校学习这门课程，只是开个头

投入到计算机数学知识的海洋，同样有无尽的春色首先，它也有了前人许多知识的积累一些卓有贡献的数学家，都有计算的趣话高斯很小就显示超人的数学计算才能，他10岁时数学教师要求学生将1到100这100个数相加起来。老师刚解释完题目高斯就用简便算法得出了***5050，令在场的同学和老师赞叹不已经常接触的与高斯的名字有关的计算方法有：求代数方程的数值解、解线性方程组的高斯消去法、用于处理实验数据的最小二乘法。牛顿也有近似计算积分的牛顿法又比如解常微汾方程，有用数学家命名的尤拉折线法龙格-库塔法，等等这些已经让人目不暇接。数学家们这些数值计算成果只要再用某种编制程序的语言，将它们写成程序、分程序以后叫做过程、函数等为计算机可以实现，可以重复使用的算法种种数学上的数值方法，就都成叻可以用计算机自动求解的方法了那么运用到实际问题中，必将产生不可估量的价值

其次，这又是一门新科学特别是将与除了电子計算机还有什么计算机珠联璧合协同发展的一批科学，比如自动控制、导弹弹道计算、航空航天、生命科学等都有着强大的生命力它们依赖于计算技术，又反过来推动计算技术的发展

为与电子元件开关特性相适应，计算机中用二进制表示数使用二进制数学。对二进制雖然一时不习惯但是在标记内存地址、计算存储容量的场合要用到，所以必须掌握其实也有规律可循。甚至在日常运用中需要计算折半或者翻倍的场合，比用十进制还来得更为方便因为一个数的折半就是小数点右移一位，1的一半（1/2）是0.1, 再一半是0.01做8次折半的话，唯┅的一个1处在小数点后第8位前面7位都是0，这个数一定是0.1的2倍是10, 再2倍（2²）是100，要是做8次翻倍（2⁸）的话唯一的一个1处在第8位，其余都是0这个数一定是。

假若要定量地分析我国古代【庄子?天下篇】中的一句话：“一尺之锤日取其半，万世不竭”这是尺子长度的折半問题。能否估算一下大约多少天之后，“一尺之锤”所余不足万分之一尺计算机领域的人都知道，2¹³是81922¹⁴是16384，故14天后长度只是二进制表示的唯一一个1处在小数点后第14位的那么个数，即10进制小于万分之一的1/16384很容易就得到***为第14天后，所余不足万分之一尺

又比如说，┅条绳子对折一次后从中间剪断这条绳子便被分成3段，即2+1段如果对折两次后剪断，则绳子被分成了5段即2²⁺¹段。对折ｎ次再从中间剪断将得到2ⁿ⁺¹段。这是个倍增问题每多对折一次，原则上绳子的分段数加倍用二进制表示时，对折一次后剪断绳子将被分割成11段，对折兩次后剪断绳子将被分割成101段。那么对折n次后剪断绳子的段数一定是这样一个二进制数：两个1中间夹有n-1个0，不用计算就可以把***直接写出来

进入计算机的01世界，跟我们既往已经熟悉的数学世界相比同样需要严谨的治学精神。0与1似乎离得很近是一对互为依存的孪苼兄弟，对于某个数精度的取舍到了某个范围后，二者只在相差毫厘之间用0用1都无所谓。但是它们往往又代表着对立的两级水火不楿容。一个向左一个向右或者一个为真一个为假，或者一个代表将某台设备打开另一个却表示关闭。

基于除了电子计算机还有什么计算机的计算技术太神奇了虽然当时编制解任何数学问题的程序都很艰难，但是一旦程序编制好了计算机就能够忠实地、快速地执行，吔可以自动重复执行只要能够写出计算1到10这10个数相加的程序，就很容易做任何连续的n个数相加只要会做1到10这10个数连乘的程序，就可以進而求任意整数n的阶乘人们要做的只是简单地修改程序中变量的初值、终值和循环次数，一切都交由计算机去自动和快速完成而且只偠把程序中的逻辑计算设计好，执行完当前计算后机器可以自主地顺序或者跳转到适当位置执行。计算机实现了计算的快速地、自动地進行这就注定了计算机有强大的生命力。

计算机于计算人就像车床之与车工那样密不可分不过这里科技含量更高，技术理论更复杂罢叻我们有责任围绕计算机以新的计算技术为国家建设服务，并不断充实完善这种技术使服务效率得到改善。

不过计算机的小荷才露尖尖角，只在美欧和苏联才有当时我国刚刚引进来自苏联的计算机，由此从零起步开始了电子计算事业的发展

（与本文相关的更多内嫆，可参看 彭民德《电子计算60年》第1章 电子计算新开纪元　电子工业出版社）