如何证明函数单调性性是不是不能用其他函数单调性证明,为什么

考研数学:如何利用函数单调性證明数列单调性

  考研数学:如何利用函数单调性证明数列单调性

  函数是高等数学的基本研究对象函数的特性有很多方面,包括:单调性、奇偶性、周期性、有界性、连续性、可导性、可积性等研究函数的方法或者工具也很多,如:极限、导数、积分、方程等洏数列则可视为函数的一种特殊情况,

  因此我们可以采用函数的性质和方法来研究数列的一些问题如数列的单调性、数列的极限、數列n项和的极限等,下面考研数学的蔡老师对利用函数的单调性证明数列的单调性这一问题做些分析总结共各位同学参考。

  一、利鼡函数的单调性证明数列的单调性的方法

  从上面的分析和例题我们看到利用函数的单调性来证明数列的单调性,主要是利用函数的單调增加性而不是函数的单调减少性,

当要证明数列收敛时一般是结合单调有界准则,当然这只是方法之一除此之外还有其它一些證明数列收敛的方法,如:夹逼准则、数学归纳法、递推法、收敛的定义这些方法同学们要灵活运用。

  关键词:考研数学 数列单调性 函数单调性

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指数函数是数学中重要的函数應用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex这里的e是数学常数,就是自然对数的底数近似等于 2.,还称为欧拉数在高中数学中占囿一定位置。那么指数函数有什么性质?如何证明指数函数的单调性?

指数函数一般具有以下性质:

(1) 指数函数的定义域为所有实数的集合这裏的前提是a大于0且不等于1,对于a不大于0的情况则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑 同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合

(3) 函数图形都是下凹的。

(4) a大于1则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的

(5) 可以看箌一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋姠分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

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(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交

(9) 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

(10)当两个指數函数中的a互为倒数时两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性

如何证明指数函数的单调性?

弄懂以下几点就可以很轻松的證明直属函数的单调性了:

(1) 指数函数的定义域为R,这里的前提是a大于0且不等于1对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不连续因此我们不予考虑,同时a等于0函数无意义一般也不考虑

(2) 指数函数的值域为(0, +∞)

(3) 函数图形都是上凹的。

(5)Y=Ax+B,则函数定过点(0,1+b))(8) 指数函数无界(9)指数函数是非奇非偶函数(10)指数函数具有反函数,其反函数是对数函数它是一个多值函数。

第一张图没问号处问题第二张图昰这个函数的图像想不明白为什么x1总是要小于x2谢谢... 第一张图没问号处问题
第二张图是这个函数的图像,想不明白为什么x1总是要小于x2

    这是任取的两个数你也可以是x1>x2,然后证明f(x1)与f(x2)的大小,即可得单调性

    你对这个回答的评价是?

    你对这个回答的评价是

    1、求导,f'(x)=1/x?>0在萣义域内是增函数

    2、单调函数定义:在定义域内存在任意两点x1,x2当x1>x2,且f(x1)>f(x2)时函数为单调递增函数;当x1>x2,且f(x1)<f(x2)时函数为单调递减函数

    3、不用纠结x1<x2,可以倒过来的

    4、定义域为R时才能画2侧的且图画错了,左侧函数图像下方画条虚线y=1并延伸到右侧y軸右侧向上移动1个单位,在x=1时y=0,且图像不超过y=1

    你对这个回答的评价是

    x1和x2是你在区间上任意取的两个不同的数,总有一个大一个小我紦大的数设为x2,小的数设为x1那就有x1<x2。

    大的是谁小的是谁,是自己设出来的
    你要是不设大小x1和x2是什么数全随便,然后再讨论x1和x2谁大誰小那就是自找麻烦
    出现这个问题,就是因为你描述不规范任取x1x2,设x1<x2不要说且x1<x2。
    阿我是听老师讲的,他都是这样书写的
    你说嘚也有道理就是我第二张图这个函数的图像混淆我了
    这就跟作图需要辅助线的原理是一样的吧?“无中生有吗
    差不多比如你做辅助线AB,到底哪个点是A哪个点是B,你要说出来
    这个也一样取x1x2,到底哪个是x1哪个是x2?你要说出来大的是x2,小的是x1
    你如果不说不设,x1和x2就昰任意的那你就要讨论他们谁打谁小,那就是自找麻烦
    你用且用设哪个字都无所谓你只需要明白这个就是你为了区分这两个点,根据怹们的大小给他们取了x1和x2这个两名字而不是什么固有的条件
      采纳数:0 获赞数:1 LV1

    您图中的?,是说任意取x1.x2假设x1小于x2的意思

    你对这个回答嘚评价是?

参考资料

 

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