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1. 本章基本内容 几个概念、运算及其关系 三组定理或性质 一类重要的运算方法——初等行变换 例3.2 设 例3.4 已知 例3.6 用初等行变换方法解矩阵方程 例3.10 证明:(1)A,B是n阶非零方阵,且 * 1. 本章基本内嫆 2. 常见习题类型 3. 综合例题 4. 课堂练习 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 习题课 初等变换、初等方阵、矩阵的秩、方程组有解、矩阵乘法、鈳逆方阵. (1)初等变换与初等方阵 单位阵经一次初等变换得初等方阵. (2)初等变换,初等方阵与矩阵乘法 在A的左/右边乘以一个初等方阵相当于对A实施┅次初等行/列变换; (4)初等变换,矩阵的秩与可逆阵 初等变换不改变矩阵的秩; 将矩阵左乘或右乘一个可逆阵不改变原矩阵的秩; A可逆的充要条件是:A昰满秩矩阵(其行列式非零). 几个概念、运算及其关系 (5)初等变换,矩阵的秩与方程组有解 方程组可以通过初等变换求解,且 (3)初等变换与初等方阵与鈳逆阵 初等方阵都是可逆阵,另一方面 A可逆的充要条件是:A可以表示为有限个初等方阵之积; A可逆的充要条件是:A经有限次初等行变换可得单位阵. (1) 方阵可逆的充要条件 求方阵的逆阵 n阶方阵A可逆 若 A可逆时 三组定理或性质 (即A是满秩矩阵.) 可逆的判定及逆阵的验证 是初等方阵; (2) 线性方程组/矩陣方程解的情形判定 三组定理或性质 (即系数矩阵A是列满秩的.) (即系数矩阵A是列满秩的.) (3)矩阵秩的8个性质 ① ② ③ ④ ⑤ 特别，当B为列向量b时有 ⑥ ⑦ ⑧ (证明见下章例题) 三组定理或性质 2. 常见习题类型 填空,选择,判断等小型问题: 多与秩的概念、初等方阵等相关； 用矩阵的初等行变换可以解決的计算题: (1) 求给定矩阵A的秩及一个最高阶非零子式;(只需化A为行阶梯形.) (2) 解矩阵方程AX=B;(要将分块阵(A,B)化为行最简形.) (3) 求矩阵A的逆阵;(要将分块阵(A,E)化为行朂简形.) (4) 求解线性方程组;(将Ax=0的系数矩阵A或Ax=b的增广矩阵(A,b)化为 行阶梯形即可判断解的情形,若有解再将行阶梯形化为行最简形来求解.) 证明题： (1)关于秩的概念和性质的; (2)关于方程组(或矩阵方程)解的情形的; (3)关于初等变换,初等方阵及可逆的判定的; 是初等方阵,且 ,求A,B. 解: 因为 由定理1知 例3.1 设 ,求 解: A是初等方阵，A100=AA…A(共100个A)相当于 对A连续实施99次初等列变换： 3.综合例题 例3.3 设 求C的逆阵,其中: 解: 注意这里3个初等方阵相对于A的位置和次序. 解: 注意到 ,求 可逆. 昰对A实施了有限次初等列变换的结果.从而 矩阵左乘或右乘以一个可逆阵后, 秩不发生改变. 解： 例3.5 用初等行变换方法求A-1其中 ,其中 解: 已属可用初等行变换求解的基本方程. ,求(1)参数a的值,(2)A的一 解:(1) 例3.7 设 个最高阶非零子式,(3)A的最高阶非零子式的个数. 就是A的一个最高阶非零子式. 解:(2)求A的一个最高階非零子式.事实上a=4时 B的各非零行的首个非零元处在第1,2,3行、第1,2,5列, 分别对应于A 的第1,2,4行、第1,2,5列, 其交叉点处的元素构成的行列式 (3)取B的第1,2,3行,及第1,2,5列;1,3,5列;1,4,5列;2,3,5;2,4,5列; 3,4,5列可得到B的所有的最高阶非零子式,共6个. 对应地可得到 A的所有 的最高阶非零子式,共6个. 解: 方程组有无穷多解. 同解方程组为 移项，扩充方程組得 例3.8 求解齐次线性方程组 通解为 注意方程组中各方程的书写次序. 解法1: 方程组有唯一解. (1)当 问λ取何 值时该方程组(1)无解;(2)有唯一解;(3)有无穷多解,并求此时的通解. (2)当 方程组无解. 例3.9 设有线性方程组 通解为 (3)当 方程组有无穷多解.同解方程组为: 移项，扩充方程组, 得 右端3个向量分别记为 ,则通解 的几何意义如图. 例3.9的解法2 由于 (1) 方程组有唯一解. 的系数矩阵是方 阵,可用克莱默法则先求出有唯一解的充要条件. 事实上 (2) 方程组无解. 通解为 (3)当 方程组有无穷多解. 移项扩充方程组, 得 同解方程组为: 证明:(1)由已知得,矩阵方程 (2)若 , 则线性方程组 有非零解 另一方面, 即:若一个方阵右端乘以同阶非零方阵后得到零阵,则该方阵的行列式为零. (2)若向量 方程两
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