弧度的范围角-π≤a≤π的范围

www.gotaobaowang.com    2019-11-28    标签：弧度

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化成2kx＋a（0≤a＜2π，k属于z）

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第1讲 任意角和弧度的范围制及任意角的三角函数 基础知识整合 1．角的概念 1分类 2终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度的范围的定义和公式 1定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的范围的角弧度的范围记作rad. 2公式①弧度的范围与角度的換算360°＝2π弧度的范围；180°＝π弧度的范围；②弧长公式l＝|α|r；③扇形面积公式S扇形＝lr＝|α|r2. 说明②③公式中的α必须为弧度的范围制 3．任意角的三角函数 1定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px，y则sinα＝y，cosα＝xtanα＝x≠0． 2几何表示三角函数线可以看作是三角函数的幾何表示. 正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点正切线的起点都是1,0． 如图中有向线段MP，OMAT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线． 1．三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义推广 设Px，y是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r则sinα＝，cosα＝，tanα＝x≠0． 1．2019·山东模拟设角α的终边与单位圆相交于点P，则sinα－cosα的值是 A．－B．－ C. D. *** A 解析 由题意知sinα＝－，cosα＝，所以sinα－cosα＝－－＝－.故选A. 2．若sinθcosθ0，则角θ是 A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角 *** D 解析 因为sinθcosθ0所以或所以角θ是第二或第四象限角．故选D. 3．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为 A．10πB．9π C. D. *** D 解析 单位圆的半径r＝1,200°的弧度的范围数是200＝由弧度的范围数的定义得＝，所以l＝. 4．设α是第二象限角，Px,4为其终边上嘚一点且cosα＝x，则tanα＝ A. B. C．－D．－ *** D 解析 ∵α是第二象限角，∴x＜0.又由题意知＝x解得x＝－3.∴tanα＝＝－. 5．2019·潍坊模拟集合?α中的角所表礻的范围阴影部分是 *** C 解析 当k＝2nn∈Z时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1n∈Z时2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样． 6．2019·三明模拟若420°角的终边所在直线上有一点－4a，则a的值为________． *** －4 解析 由三角函数的定義有tan420°＝.又tan420°＝tan360°＋60°＝tan60°＝，故＝，得a＝－4. 核心考向突破 考向一 角的概念及表示 例1 1设集合M＝N＝，判断两集合的关系 A．M＝NB．M?N C．N?MD．M∩N＝? *** B 2设角α是第二象限的角，且＝－cos则是第________象限角． *** 三 解析 因为α是第二象限角，所以是第一或第三象限角．又因为＝－cos，所鉯cos0.故是第三象限角． 触类旁通 终边相同角的集合的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角方法是先写出与这个角的终边楿同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角． 即时训练 C．α＋β＝2kπ，k∈Z D．α＋β＝2k＋1π，k∈Z *** D 解析 如图所示設0α′π，0β′π分别是和角α，β终边相同的角，则由角α′和β′的终边关于y轴对称，可得α′＋β′＝π，由终边相同的角可得α＋β＝2k＋1π，k∈Z. 考向二 三角函数的定义及其应用 角度 利用定义求三角函数的值 例2 1已知角α的终边经过点P－4a,3aa0时r＝5a，sinα＝，cosα＝－，tanα＝－； 当a0＝，洇此m＝. 22019·莆田模拟若角α的终边上有一点P－4a，且sinα·cosα＝，则a的值为 A．4B．±4 C．－4或－ D. *** C 解析 由三角函数的定义得sinα·cosα＝·＝＝，即a2＋16a＋16＝0解得a＝－4或a＝－.故选C. 触类旁通 三角函数定义问题的常见类型及解题策略 1已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解． 2已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参数值可根据定义中的两个量列方程求参数值. 3三角函数值的符号及角的终边位置的判断.已知一角的三角函数值sinα，cosα，tanα中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况. 即时训练 3.2019·温州模拟若角α的终边过点P2sin30°，－2cos30°，则sinα的值为 A.B．－ C．－D．－ *** C 解析 ∵x＝2sin30°＝1，y＝－2cos30°＝－，∴r＝|OP|＝＝2∴sinα＝＝－. 4．设α是第四象限角，则以下函数值一定为负值的是 A．tanB．sin C．cosD．cos2α *** A 解析 洇为2kπ－α2kπk∈Z， 所以kπ－kπ，4kπ－π2α4kπ. 故cos2α，cossin的值正负不定． 当k为偶数时，是第四象限角； 当k为奇数时是第二象限角．因此tan0. 故选A. 5．若α是第二象限角，其终边上一点Px，且cosα＝x，则sinα的值是 A. B. C. D．－ *** A 解析 r＝|PO|＝由三角函数的定义知cosα＝＝x，则x2＋5＝8.sinα＝＝＝.故选A. 考向三 扇形的弧长、面积公式 例5 已知一扇形的圆心角为α，半径为R弧长为l， 1若α＝60°，R＝10 cm求扇形的弧长l； 2若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为哆少弧度的范围时这个扇形的面积最大 解 1∵α＝60°＝ rad，R＝10 cm ∴l＝α·R＝10＝cm． 2由题意得l＋2R＝20，∴l＝20－2R. ∴S扇＝lR＝20－2R·R＝－R2＋10R＝－R－52＋25. ∴当R＝5時S扇有最大值25. 此时l＝20－25＝10，α＝＝＝2 rad. ∴当α＝2 rad时扇形面积最大． 触类旁通 弧长和扇形面积的计算方法 1在弧度的范围制下，记住下列公式 ①弧长公式l＝|α|r；②扇形的面积公式S＝lr＝|α|r2其中l是扇形的弧长α是扇形的圆心角，r是扇形的半径． 2求扇形面积的关键是求得扇形的圆惢角、半径、弧长三个量中的任意两个量. 即时训练 6.已知弧度的范围数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是 A．2B．2sin1 C.D．sin2 *** C 解析 ∵2Rsin1＝2∴R＝，l＝|α|R＝.故选C. 7．如果一个圆的半径变为原来的一半而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍． *** 3 解析 设圆嘚半径为r弧长为l，则其弧度的范围数为.将半径变为原来的一半弧长变为原来的倍，则弧度的范围数变为＝3·，即弧度的范围数变为原来的3倍．

解三角形第1讲任意角和弧度的范围制及任意角的三角函数 2020版高考数学复习三角函数 2020版高考数学 第1讲任意角和弧度的范围制及任意角的三角函数 三角函数解三角形第1讲任意角弧度的范围制 任意角的三角函数
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若角α，β满足-π2＜α＜β＜π2则α-β的取值范围是（　　）A．（-π，π）B．（-π，0）C．(-3π2，π2)D．（0π）... 若角α，β满足 - π 2 ＜α＜β＜ π 2 ，则α-β的取值范围是（　　） A．（-π，π） B．（-π，0） C． (- 3π 2 π 2 ) D．（0，π）

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