解因为向量组中向量的个数大于烸个向量的维数由推论 2 知 a1,a2 ,a3,a4线性相 关.2 解?? ???????????? ? ??????????? ? ?????????? ? 111321aaa因为??3321?aaaR所以 a1,a2,a3线性无关.3 解?? ?????????? ?? ????????????? ?????????? ?? aaa因为??32321??aaaR所以 a1,a2,a3线性相关.4 解?? ?????????? ?? ? ????????????? ? ????????????? ? ??????????kkkkkkkk而该方程组的系数矩阵对应的行列式，所以有非零解11001?4所以 b1,b2,b3,b4线性相关5. 证明假使向量组 b1,b2,,bm线性相关.即存在不全为 0 的常数 k1,k2,,km,使k1b1k2b2kmbm0由题意不妨设 解对矩阵进行初等行变換为??????????????????????????????????????该矩阵的秩为 3，矩阵的第 1,2,3 列是它的列向量组的┅个极大无关组.2 解对矩阵进行初等行变换为5??????????????2001? ???????????????2001????????????????2001该矩阵的秩为 4因此矩阵的第 1,2,3,4 列是它的列向量组的一个极大无关组.2．1 解以 a1,a2,a3为列作矩阵 AA?????????????????????????????????????01????????????? ??该矩阵的秩为 2,它的一个极大无关组为 a1,a23 解以 a1,a2,a3为列作矩阵 A ??????????该矩阵为下三角矩阵，其因此该矩阵的秩为 3,它的一个极大无关组为向0?A量组本身.4 解以 a1,a2,a3,a4,a5为列作矩阵 A,???????????????????????????????????????????????????????????????????????????A矩阵 A 的秩为 3, 矩阵 A 的第 1,2,3 能由向量组 B 线性表 riiibbb,,, 21L示，所以向量组 A 能由向量组 B 线性表示加上题设条件，所以向量组 A 与向量组 B 等价 （法（法 二）二） 设向量组 B 和 A 的秩均为 r,且设它们的一个极大无关组分别为 b1,b2,,br, a1,a2,,ar.则由极大无关组的性质可知一个向量组的所有向量都可由它的一个极夶无 关组的向量线性表示.因此要证明向量组 A 与