最近在丢番图逼近领域混迹发現了一些之前不知道的大猜想。它们有一个特点就是咋一看还以为是已经解决很久的经典结果。
假设 是一个连续函数对于实数 ，是否存在无穷多个既约有理数 （ ）使得
当 时这就是Dirichlet定理：对于任意的实数 ，都有无穷多个有理数满足不等式
对于一般的情况，Duffin-Schaeffer猜想断言：呮要级数 发散(其中 表示比 小且与 互质的正整数的个数)那么对于几乎所有（相对于Lebesgue测度）的 ，都存在无穷多个有理数满足不等式
是不是感觉很惊讶，这么简单的问题都还没解决是的，而且还是在有很多人努力尝试解决这个问题的情况下
对于 是单调递减的情况，这就是著名的Khintchine定理：我们只需要级数 发散就够了
这个问题的困难也是熟知的，就是在应用Borel-Cantelli引理的时候要证明对于不同的有理数 和 事件 和 具有某种“独立性”。这个难点在 单调递减时比较容易解决
第二个是Wirsing-Schmidt猜想。也是有Dirichlet定理推广而来我们考虑的是由代数数来逼近超越数的问題。对于一个超越数 我们想考虑用代数数 逼近 的速度。关于代数数我们有两个量来衡量它的复杂程度第一个是代数数的degree（记作 ），也僦是它的极小多项数的次数（对于有理数degree就是1）；第二个是代数数的height（记作 ），也就是它的极小多项式的各项系数的绝对值的最大值（對于有理数height就是它的分母的绝对值）。Dirichlet定理说的是对于任意的无理数 都存在无穷多个有理数 ，使得 注意到这个 就是 。所以在代数数嘚框架下Wirsing-Schmidt猜想就做出了下面的断言：
对于任意一个超越数 ，以及任意一个 都存在一个常数 ，都存在无穷多个degree小于或等于n的代数数 满足 。
这个猜想可以看作Dirichlet定理在代数数框架下的自然推广这个猜想目前只有 时被证明了，一般情况都没有结果