数列就是按照一定规律排成的一列数那么
函数列就是按照一定规律排成的一列函数。
“级数和函数”的实质就是一个无限求和
数项级数和函数就是一列无限个数的求囷。这列数或者有规律或者没有规律但一般是有规律的一列数。
数项级数和函数通常也就是含有无限个数的数列的求和那么，
函数项級数和函数就是一列无限个函数的求和（当然要求函数在定义域内的求和）
函数项级数和函数通常也就是含有无限个函数的函数列的求囷。
有了以上说明：就可以知道函数列实质就是一列函数，
而函数项级数和函数就是一列函数的求和
对函数列的求和就是函数项级数囷函数，而把函数项级数和函数的每一项拿出来组成的一列函数就是函数列。

111第十章 函数项级数和函数习题课 ┅、一、 主要内容主要内容 1、基本概念、基本概念 函数列（函数项级数和函数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、函数列（函数项级数和函数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、 和函数和函数 幂级数和函数的收敛半径、收敛区间、收敛域幂级數和函数的收敛半径、收敛区间、收敛域 2、、一致收敛性A、、 函数列{ }nfx一致收敛性的判断 （1）定义用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性 （2）Cauchy 收敛准则用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断（3）确界（最大值方法）|| ||0nfxf x??（4）估计方法| |0nnfxf xa???（5）Dini-定理条件 1）閉区间；2）连续性；3）关于的单调性[ , ]a bn注、除 Cauchy 收敛准则外都需要知道极限函数，因此在判断一致收 敛性时，一般应先利用点收敛性计算絀极限函数 注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象 的对象估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对 象确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般 结构的具体的函数列也可以用於非一致收敛性的判断。 注、Dini 定理中要验证的关键条件是关于 n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的 x作为数列关于 n 是单调的” ，注意到收[ , ]a b?{ }nfx敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系上述条件也可以改为“存在 N，当 nN 时”条件成立即可但是，要注意 N 必须是與 x 无关的即当 nN时，对所有任意固定的 x关于 n 单调，因此此时的单调性也[ , ]a b?{ }nfx称为对 n 的单调性关于 x 一致成立。 非一致收敛性的判断 （1）定義 （2）Cauchy 收敛准则（3）确界法存在使得不收敛于 0nx||||nnnfxf x?（4）和函数连续性定理（5）端点发散性判别法在 c 点左连续，发散则在{ }nfx{ }nfc{ }nfx112内非一致收敛, cc??注、在判断非一致收敛性时，按照使用时的难易程度可以按如下顺序使 用相应的方法进行判断端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、 定义法、Cauchy 收敛准则。B、函数项级数和函数 nux?一致收敛性的判断 （1）定义 （2）Cauchy 收敛准则 （3）转化为函数列（部分和）（4）余项方法一致收敛于 0{ }nr x（5）几个判别法W-法Abel 法，Dirichlet 法Dini-法注、一般来说，由于不容易计算和函数函数项级数和函数的一致收敛性的判断 比函数列┅致收敛性的判断要复杂，但是由于判别法并不是很多，因此对 一个题目，在不能准确分析其结构特点确定相应的判别法时，可以采用逐个 试探的方法确定出一个合适的判别法，但是不管用哪个判别法，一定要严 格验证相应的条件注、方法（3）和方法（4）处理問题的思想是一致的，只是途径不同 非一致收敛性的判断 （1） 、定义 （2） 、Cauchy 准则 （3） 、部分和方法，转化为函数列判断 （4） 、和函数连續定理 （5） 、端点发散性判别法（6） 、必要条件通项函数列不一致收敛于 0 { }nux（7） 、逐项求积法与和函数连续性定理类似利用一致收敛的和函数的 分析性质，通过验证不能逐项求积进行判断 注、使用的顺序基本和函数列的情形类似。 3、和函数性质 定性分析连续性可微性的判断 定量分析求导，求积求极限 注、对和函数的连续性、可微性等定性性质的分析，充分利用这些性质的 局部性将给定区间（通常是開区间）上的性质研究转化为内闭区间上的性质 研究，因此解决问题的关键通常是内闭一致收敛性的验证。 4、幂级数和函数 （1）收敛半徑收敛域113（2）各种收敛性的关系点收敛、绝对收敛、一致收敛 （3）幂级数和函数的展开 （4）和函数的性质求和，求导求积，求极限注、要充分利用各种技巧实现和函数的计算、幂级数和函数的展开等性质研究 二、二、 典型题目典型题目1、判断函数列在的一致收敛性，其中{ }nfx[0,1]（1） 、 （2） 、。 1nnxfxnx??? 1nnfxnxx??解（1）计算得， lim lim1nnnnxf xfxxnx?????????[0,1]x?因而， ，2| | xxnne????????故在非一致收敛。{ }nfx[0,1]注、下述鼡 Dini-定理求证（2）的过程是否合适验证 Dini 定理的条件显然，对任意的 n，；当 1[0,1]n nfxnxxC??? 0[0,1]f xC??或，因而关于单调；当时考察0 x ?1x ? 0nfx ?n0 x ?关于的單调性，为此将离散变量连续化，记 显然这是与最大值解法相矛盾的结论。最大值方法是正确的那 么，上述 Dini-定理的证明过程错在何處进一步考察 Dini-定理的条件与上述 证明过程条件是确定的有限区间也适合，剩下的条件只有单调,[0,1]nf fC?[0,1]性了那么，Dini-定理中对单调性条件如何偠求的其叙述为对任意固定的是的单调数列，注意到收敛性与前有限项没有关系因而x{ }nfxn的单调性也放宽为时，是的单调数列本例中，茬验证{ }nfxnN?{ }nfxn单调条件时实际证明了，当时关于单调，0 x? ?1 1ln1nNx? ???{ }nfxn显然， （） 因此，的单调性关于 x 并非是一1 1ln1Nx?? ???0 x??{ }nfx致的破坏了 Dini-定理的条件，故 Dini-定理不可用 x?注、上述分析表明要考察函数列的性质时，通常只须考察充分大即n 时所满足的性质即可，要注意與关系的刻画对函数项级数和函数要注意同nN?x 样的问题，如 W-定理115W-定理定理 设使得时，，且收敛0N??nN?| |nnuxa?xI? ?1n na???则在上一致收斂。1 n nux???I定理中的条件也是关于一致成立的因此，条件不能改为“对| |nnuxa?x任意的 x存在 |ffx?????统一形式1xxn????1||xn???因此，利用┅致连续性可以完成证明证明任取，则在一致连续因此，[ ,][ , ]a b? ?? fx?[ ,]? ?0?? ?，0???使得且时,[ ,]x x? ??????||xx??????，| |fxfx????????利用微分中值定理存在，使得1 xxn?????| | | |nfxf xffx??????故，时 ，因而1n??1||xn?????| |nfxf x???故， [ ,] nfxfx? ???3、討论一致收敛性116（1） ； （2）。201 , [0,1]nnxxx?????20, 0,nxnx ex? ??????解（1）法一、由于结构简单可以计算其部分和，因此可以转化为 函 数列来处悝。 由于1 20 1 1- 1- kn n 这是一个抽象的函数项级数和函数，从所给的条件看W－定理、Abel 判 别法、Dirichlet 判别法、Dini 定理都缺乏相应的条件，因此考虑用 Cauchy 收敛准则，为此必须建立通项函数与其导函数的关系，建立其关系的方法 nux有微分法（利用微分中值定理）和积分法（利用微积分关系式） 其本质基本 上都是插项法，如利用积分法估计 Cauchy 片段0ppp0 k1k1k1| |