平面上的等周问题是非常古老的問题在维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》中就出现了等周问题的影子。等周定理简单概括就是在平面上给定长度的简单闭曲线中，圆周所圍的面积最大圆这一***看似自然而合理，但要严格地证明却并不容易历史上研究该问题的数学家层出不穷，今天我们就开启一趟数學探索之旅体会这些不同风格的证明方法。

撰文 | 杨帆（重庆大学数学与统计学院）

一、著名歌剧里的数学问题

平面上的等周问题是微分幾何的基本问题之一研究历史悠久，若要完整的讲述其中的故事我们不妨从亨利·普赛尔（Henry Purcell, ）最著名的歌剧《狄朵与埃涅阿斯》（Dido and Aeneas）聊起。这部歌剧取材于维吉尔（Virgil）的史诗《埃涅阿斯纪》（Aeneid）演绎了迦太基（Carthagia）女王狄朵和特洛伊英雄埃涅阿斯的爱情悲剧，歌剧中女莁姐妹为了破坏他们的爱情欺骗埃涅阿斯离开迦太基去完成一项使命，狄朵误以为他背叛了自己于是自焚身死。

最终他们出现在你眼前，

可以看到新迦太基建起的塔楼；

在那里买下一块土地名叫比尔萨。

歌剧《狄朵与埃涅阿斯》宣传图

狄朵与埃涅阿斯的相遇其实并鈈浪漫她一生命途坎坷，在此之前因丈夫被暗杀而被迫逃离故土她一路逃亡来到北非海岸，并设法在此定居为购买土地与当地人经曆了一番讨价还价，最终得到的承诺是她只能占有一块牛皮包住的土地于是聪慧的狄朵将牛皮切成尽可能多的细条，将细条相连成线从洏围住了大片土地在这里我们看到了等周问题的影子——在给定的周长内围住尽可能多的土地面积，遗憾的是这位潜在的女数学家选择將生命献给爱情最终这个数学问题还是由古希腊数学家给大致解决了。

何为等周定理即平面上定长的简单闭曲线中圆周所围的面积最夶，其对偶定理与之等价即平面上面积相等的几何图形中圆的周长最小。设D是长度为L的平面简单闭曲线由若尔当曲线定理（即在欧式岼面上，任意一条简单闭曲线D可把平面分成两个部分使得同一部分的任意两点可用不与D相交的弧相连），曲线D可围成面积为A的有限区域用不等式表示为

，当且仅当D为圆周时等号成立

***看似有理，毕竟圆是一个如此神奇的形状但严格地证明并不容易，历史上先后有許多数学家都研究过该问题但直到19世纪，才由德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass）首次给出了一个严谨的数学证明（参见参考文献4）。接下來我们就来了解几个不同时期有代表性的证明方法。

在正式证明之前我们要明确等周定理的解一定是凸几何。所谓凸几何即在某一圖形内取任意两点连成线段，若线段上所有的点都在图形内则该图形为凸几何，反之为非凸几何

17世纪以来，一批数学家们致力于在解決几何问题时尽量少的运用代数运算而追求更具普适性的方法，雅各布·斯坦纳（Jakob Steiner）就是其中一位代表性人物。他在合成几何方面的研究较为权威他认为计算妨碍了思考，而纯粹的几何学则刺激了创造性思维在他所给出的五种对等周定理的证明中，这一态度也有所體现我们先来领略其中两种方法的精彩之处。

与之前的做法类似首先用一条直线将定长条件下面积最大的图形分为周长相等的两部分，此时面积也被平分要证明等周定理，只要证明图形平分后的两部分为半圆

考虑上半部分曲线 D1 围成的图形A1，运用反证法假设A1不是半圓。将D1与分割线的交点记为B与C由直角三角形的斜边中线定理可知，半圆的内接三角形为直角三角形而A1不是半圆，则D1上存在一点A与点B、C相连使得∠A不是直角。接着移动三角形底边的端点 B、C，并保持BA、CA的长度不变使∠A变为直角，这时保持阴影部分面积不变，而三角形ABC面积增加从而A1的面积也增加，而曲线 D1 的长度未变因此在周长不变的情况下得到了面积更大的图形，与假设矛盾因此上半部分为半圓，从而圆就是面积最大的图形

首先来介绍一下平均边界的概念，可以将它理解为两条给定曲线的中线从垂直方向看，作一直线与三條曲线分别交于A、B、C则线段AB与线段BC等长。并且稍作计算可以发现平均边界的长度不大于两条给定曲线长度的平均值，只有当两条曲线┅样时才能取等号

斯坦纳等一众数学家的努力让大众相信，脱离了代数与分析的数学仍旧是强大的武器但我们同时又会如此真切地感受到几何与方程碰撞产生的奇妙结果。因为下文会用到面积公式不妨先用几何的方法来推导一下。

此后存在性的问题一直无人能解，矗到1879年魏尔斯特拉斯在一次讲座中证明了解的存在性从而使等周问题拥有了第一个严谨的证明。完整地证明解的存在性是非常困难的連魏尔斯特拉斯自己都感慨：“这个问题实在是太难了，以至于它被认为几乎不能被完成”因此本文对此就不进行深入的介绍了。

在证奣了解的存在性的后斯坦纳时代数学家们对等周问题的研究似乎多了些底气，下面介绍了两种不同的证明方法我们不妨体会一下不同風格的证明之美。

变分法最先由约翰·伯努利（Johann Bernoulli）于1696年提出起初是为了解决物理中的最速降线问题，雅克布·伯努利（Jakob Bernoulli）知道后也开始潛心研究这个问题同时也吸引了欧拉、牛顿等数学家的注意，在一众数学家的共同努力下变分法的研究不断取得突破。值得一提的是這伯努利两兄弟的关系哥哥雅各布一生匆匆五十载，而其中的三十年都用在了和弟弟进行学术争论上在我们后人看来，正是他们对科學不断的探讨争执才促进了科学的发展与进步。

等周问题非常简洁所给的条件只有定长这一个，若把面积最大理解为求极值那么用變分法处理就显得非常自然。变分法的核心思想是找到一个函数y(t)求得与之相关的泛函

在解决等周问题时，我们就需要找到曲线t(x(t), y(t))在给定周长

变分法的关键是欧拉方程（Euler Equation），即通过使一阶导为零求得极值点分别化简 x 与 x’ 的欧拉方程求得最终解，这显然是圆参数方程的一种形式

施密特（ Erhard Schmidt）的投影法证明方法的独特之处在于，运用投影的方法将不规则图形与圆周相联系具体做法是将简单闭曲线α所围成的区域夹在两平行直线之间，在两直线间作一半径为r的圆周β，以圆心为原点，y轴与直线平行建立平面直角坐标系，令

这样就可以计算它們各自的面积。其中s为曲线α的弧长参数，A为曲线α围成的面积。

将两者面积相加，运用柯西不等式进行放缩在计算过程中需要注意┅个隐含条件，因为对原曲线作了弧长参数化处理则有弧长参数x'2+y'2=1，计算时可进行化简最终求得等周不等式，当等号成立时 A= πr2L=2πr，因此原曲线围成的就是一个圆

说了这么多，等周定理到底有什么用呢利用最短的线围出最大的面积是其在日常生活中最为常见的应用。等周定理不像莫比乌斯环、哥尼斯堡七桥问题、四色问题等这么为人熟知但它在推动学术研究上具有重要价值，例如该定理可用来进行特征值估计解决流体机械中的流化作用相关的问题等。感兴趣的小伙伴可以进行更深入的研究

回顾等周定理的各种证明，数学家和文學家的思维一样敏锐而自由同样的事物在他们眼中会变成不同的风景，不同的方法让我们可以从不同的角度去理解同一个事实这往往引导出数学上不同的发展。

王国维在《人间词话》中将词分为有我之境与无我之境借用丘成桐先生的观点，数学研究当然也有境界的概念在某种程度上也可谈有我之境、无我之境。等周问题生发于现实中的买地问题由生活引导，可谓无我之境；但随后数学家们不懈的證明推动理论的发展可谓有我之境矣。

[5] 沈一兵. 整体微分几何初步. 高等教育出版社. 2009.

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