下为点集拓扑题目学考试的辨析題和证明题解答是本人自己写的，可能有错误或者不足希望对大家的考试有帮助。 二、辨析题（每题5分共25分，正确的说明理由错誤的给出反例） 1、拓扑题目空间中有限集没有聚点。 答：这个说法是错误的 反例： ，规定拓扑题目 则当时，和都是的聚点因为和的領域只有一个，它包含不是的聚点，因为 2、欧式直线是紧致空间。 答：这个说法是错误的 反例：对而言，有开覆盖而对于该开覆蓋没有有限子覆盖。 3、如果乘积空间道路连通则和都是道路连通空间。 答：这个说法是正确的 证明：对于投射有，由投射是连续的，又知是道路连通从而像也是道路连通空间，所以和都是道路连通空间 4、单位闭区间与不同胚。 答：这个说法是正确的 下面用反证法证明，反设与同胚则 也是同胚映射，不连通则 不连通，故矛盾所以单位闭区间与不同胚。 5、紧致性具有可遗传性质 答：这个说法是错误的。 反例 ：紧致但不紧致 三、证明题（每题10分，共50分） 1、规定为证明是连续映射，但不是同胚映射 证明：由于限制在与上連续，由粘接引理连续。但不连续如是的闭集，但不是的闭集所以不是同胚映射。 2、证明：空间的子空间也是空间 证明：设是空間，是的任一子空间需证是空间。由是空间，所以存在在的开邻域、使得是在中开邻域，是在中开邻域，故是空间 3、证明：从緊致空间到空间的连续双射是同胚。 证明：要证明连续只需证是闭映射，设是的闭子集紧致所以是紧致的。又因为紧致空间在连续映射下的像也紧致所以是的紧致子集，又由于空间的紧致子集是闭集所以是的闭集。 4、设是的既开又闭的子集是的连通子集，则或者戓者 证明：是的既开又闭的子集，由于连通则或者或者即。 5、证明：道路连通性具有可乘性质 证明：设是是中两点，和都是道路连通则有中道路，以为起始点又有中道路，以为起始点作中道路为： ，则连接和，所以道路连通性具有可乘性质