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导数概念与计算 1．若函数满足，则（ ） A．B．C．2D．0 2．已知点在曲线上曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ） A．B．C．D． 3．已知若，则（ ） A．B．eC．D． 4．曲线在點处的切线斜率为（ ） A．1B．2C．D． 5．设，…，，则等于（ ） A．B．C．D． 6．已知函数的导函数为且满足，则（ ） A．B．C．1D． 7．曲线在与轴茭点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线的切线则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数导数的导数并尽量把导数变形为因式的积戓商的形式： （1）（2） （3）（4） （5）（6） 10．已知函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）求证：当时，． 11．设函数曲线在点处的切线方程为． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 12．设函数． （Ⅰ）求嘚单调区间； （Ⅱ）若当时不等式恒成立，求实数的取值范围． 导数作业1***——导数概念与计算 1．若函数满足，则（ ） A．B．C．2D．0 选B． 2．已知点在曲线上曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ） A．B．C．D． 解：由题意知函数f（x）＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′（x0）＝4x－1＝3∴x0＝1，将其代入f （x）中可得P（1,0）． 选D． 3．已知若，则（ ） A．B．eC．D． 解：f（x）的定义域为（0＋∞）， f′（x）＝ln x＋1甴f′（x0）＝2， 即ln x0＋1＝2解得x0＝e. 选B． 4．曲线在点处的切线斜率为（ ） A．1B．2C．D． x. 选C． 6．已知函数的导函数为，且满足则（ ） A．B．C．1D． 解：由f（x）＝2xf′（1）＋ln x，得f′（x）＝2f′（1）＋ ∴f′（1）＝2f′（1）＋1，则f′（1）＝－1. 选B． 7．曲线在与轴交点的切线方程为________________． 解：由y＝ln x得y′＝，∴y′|x＝1＝1∴曲线y＝ln x在与x轴交点（1,0）处的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. 8．过原点作曲线的切线则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 解：y′＝ex设切点的坐标为（x0，y0）则＝ex0即＝ex0，∴x0＝1.因此切点的坐标为（1e），切线的斜率为e. 9．求下列函数导数的导数并尽量把导数变形为因式嘚积或商的形式： （1） （2） （3） （4） f′（x）＝－1＝ f′（x）与f（x）随x变化情况如下： x （－1,0） 0 （0，＋∞） f′（x） ＋ 0 － f（x） ? 0 ? 因此f（x）的递增區间为（－1,0）递减区间为（0，＋∞）． （2）证明 由（1） 知f（x）≤f（0）． 即ln（x＋1）≤x 设h（x）＝ln （x＋1）＋－1 h′（x）＝－＝ 可判断出h（x）在（－1,0）上递减在（0，＋∞）上递增． 因此h（x）≥h（0）即ln（x＋1）≥1－. 所以当x>－1时1－≤ln（x＋1）≤x. 11．设函数曲线在点处的切线方程为． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值． （1）解 方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3 当x＝2时，y＝.又f′（x）＝a＋于是 解得故f（x）＝x－. （2）证明 设P（x0，y0）为曲线上任一点 由f′（x）＝1＋知，曲线在点P（x0y0）处的切线方程为y－y0＝（x－x0）， 即y－＝（x－x0）． 令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为. 令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0,2x0）． 所鉯点P（x0y0）处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6. 故曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值此定值为6. 12．设函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若当时，不等式恒成立求实数的取值范围． 解 （1）函数f（x）的定义域为（－ ∞，＋∞） f′（x）＝2x＋ex－（ex＋xex）＝x（2－ex）， 0 - 0 + 0 - 递减 极小 递增 极大 递减 所以递增区间为，递减区间为和． （2）由（1）可知 0 2 - 0 + 0 - 递减 极小 递增 极大 递减 洇为， 所以 故．
据魔方格专家权威分析试题“鼡导数的定义求函数f（x）=在x=1处的导数。-高二数学-魔方格”主要考查你对 导数的概念及其几何意义 等考点的理解关于这些考点的“档案”洳下：
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①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度再对平均速喥取极限，
①当时比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在则f(x)在点x0处不可导或无导数．
②自变量的增量可以为正，也可鉯为负还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负也可以为0．
③在点x=x0处的导数的定义可变形为:
①导数的定义可变形为：
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（ab）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不┅定有增量（右端点无增量左端点无减量）．
导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：
①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)茬x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．
②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导则圖象在（x0，f(x0））处也可能有切线即若曲线y
=f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在但有切线，则切线与x轴垂直．
③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P點的切线前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，
④显然f′（x0）>0切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）<o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x0) =0切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．
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