极坐标属于二维坐标系统，创始人是牛顿主要应用于数学领域。在平面内取一个定点O叫极点，引一条射线Ox叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有时也用r表示）θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标这样建立的坐标系叫做极坐标系。通常情况下M的极径坐标单位为1（长度单位），极角坐标单位为ra（或°）。

过点M作轴Ox的垂线垂足M'叫做点M的极坐标射影点，记作

的极坐标射影矢量记作

。少数情况下PrjPoint也可以记作“射影点”，PrjVector也可以记作射影矢量

在极坐标系Ox中，以O为原点Ox为x轴正方向建立平面Rt坐标系xOy矢量

（atan2是已将象限纳入考量的反正切函数）

正如所有的二维坐标系，极唑标系也有两个坐标轴：r（半径坐标）和θ（角坐标、极角或方位角，有时也表示为φ或t）r坐标表示与极点的距离，θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。比如，极坐标中的（3,60°）表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。（?3,240°） 和（3,60°）表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度嘚地方（240° ? 180° = 60°）。

极坐标系中一个重要的特性是平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式通常来说，点（rθ）可以任意表示为（r，θ ± 2kπ）或（?rθ ± (2k+ 1)π），这里k是任意整数。[7] 如果某一点的r坐标为0那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。

极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式2π ra = 360°。具体使用哪一种方式基本都是由使用场合而定。航海（en:Navigation）方面經常使用角度来进行测量而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度

极坐标系中的两個坐标r和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值。

由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标：

用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程通常用来表示ρ为自变量θ的函数。

极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果ρ(?θ）= ρ（θ），则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果ρ（π-θ）= ρ（θ），则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果ρ（θ?α）= ρ（θ），则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。

在极坐标系中圆心在（r，φ）半径为r的圆的方程为

方程为r（θ）=1的圆

另：圆心M(ρ',θ') 半径r 的圆的极坐標方程为:

经过极点的射线由如下方程表示

其中φ为射线的倾斜角度，若m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan m任何不经过极点的直线都会與某条射线垂直。这些在点（r′φ）处的直线与射线θ = φ 垂直，其方程为r′（θ）= r′sec（θ - φ）。

极坐标的玫瑰线（polar rose）是数学曲线中非常著名的曲线看上去像花瓣，它只能用极坐标方程

如果k是整数当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣如果k为非整数，将产生圆盘（isc）状图形且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如26，10……）个花瓣变量a代表玫瑰线花瓣嘚长度。

阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示：r（θ）= a+bθ，

改变参数a将改变螺线形状b控制螺线间距离，通常其为常量阿基米德螺线有两条螺线，一条θ > 0另一条θ < 0。两条螺线在极点处平滑地连接把其中一条翻转90°/270°得到其镜像，就是另一条螺线。

其中l表示半径，e表示离心率如果e < 1，曲线为椭圆如果e = 1，曲线为抛物线如果e > 1，则表示双曲线

其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离

由于坐标系統是基于圆环的，所以许多有关曲线的方程极坐标要比直角坐标系（笛卡儿坐标系）简单得多。比如双纽线心脏线。[5] 

开普勒第一定律：太阳系中的所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

开普勒第二定律：极坐标提供了一个表达开普勒荇星运行定律的自然数的方法开普勒第一定律，认为环绕一颗恒星运行的行星轨道形成了一个椭圆这个椭圆的一个焦点在质心上。上媔所给出的二次曲线部分的等式可用于表达这个椭圆开普勒第二定律，即“等域定律”认为连接行星和它所环绕的恒星的线在等时间間隔所划出的区域是面积相等的，即ΔA/Δt是常量这些等式可由牛顿运动定律推得。在开普勒行星运动定律中有相关运用极坐标的详细推導

希望我能帮助你解疑释惑。