最简单最快速的方法是利用欧氏空间的一个定理：如果空间的维数为n则空间内任意n個线性无关的向量可以做该空间的基底。矩阵的行秩等于列秩

来看这道题：首先初等行变换矩阵变为阶梯型，发现该矩阵的秩为3那么，这个矩阵中任意三个线性无关的行向量就是该矩阵行空间的基底这个矩阵只有3个行向量，那这三个行向量就是基底

然后看列空间，苐一列与第四列明显线性无关记这两条列向量为a1,a4，为了验证a2,a3中哪条向量与这两条线性无关做出假设，a2与a1,a4线性相关则存在数x,y,使得xa2+ya3=a2。得箌x+y=3,2x+2y=1,3x+6y=4光看前两个式子就知道这样的x,y不存在。所以a1,a2,a4线性无关所以a1,a2,a4就是列空间的基底。

这个方法是极为快速简洁的方法总比换底公式快的哆的多。

零空间的基实际上笨法子就是最好的办法：初等行变换得如下矩阵

(-9/20 -7/20 -1/4 1)就是零空间的基底实际上求零解空间的基底就是求Ax=0的基础解系。

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