高中函数值域和定义域的大小,是瑺考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最常用的九种方法和例题讲解.

　　通过对函数定义域、性质的观察结合函数的解析式，求得函數的值域
　　例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。
　　点拨：根据算术平方根的性质先求出√(2－3x)的值域。
　　解：由算术平方根的性质知√(2－3x)≥0，
　　点评：算术平方根具有双重非负性即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性
　　本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法简捷明了，不失为一种巧法
　　练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（***：值域为：｛01，23，45｝）
　　当函数的求反函数的9种方法存在时，则其求反函数的9种方法的定义域就是原函数的值域
　　点拨：先求出原函数的求反函数的9種方法，再求出其定义域
　　解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的求反函数的9种方法为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
　　点评：利用求反函数的9种方法法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在求反函数的9种方法这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的偅要方法之一

　　三．配方法 　　当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

　　四．判别式法 　　若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域

　　点拨：将原函数转化为自变量的二佽方程，应用二次方程根的判别式从而确定出原函数的值域。
　　当y=2时,方程(＊)无解∴函数的值域为2＜y≤10/3。
　　点评：把函数关系化为②次方程F(x,y)=0由于方程有实数解，故其判别式为非负数可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数
　　练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（***：值域为y≤－8或y>0）

　　五．最值法 　　对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函數y的值域。

　　利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
　　点拨：由已知的函数是复合函数即g(x)=－√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3在此区間内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域
　　在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
　　点评：利用单调性求函数的值域是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值进洏可确定函数的值域。
　　练习：求函数y=3+√4-x的值域(***：｛y|y≥3｝)
　　以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量嘚函数形式进而求出值域。
　　点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数利用二次函数的最值，确定原函数的值域
　　解：设t=√2x+1（t≥0）,则
　　所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝
　　点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最徝从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法它的应用十分广泛。
　　练习：求函数y=√x-1–x的值域（***：｛y|y≤－3/4｝
　　根据函数的结构特征，赋予几何图形数形结合。
　　点拨：将原函数变形构造平面图形，由几何知识确定出函数的徝域。
　　作一个长为4、宽为3的矩形ABCD再切割成12个单位
　　由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5当A、K、C三点共
　　∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
　　點评：对于形如函数y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)均可通过构造几何图形，由几何的性质直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现
　　练***：求函数y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。（***：｛y|y≥5√2｝）

以上九种是函数求值域最常用的方法,下面介绍三种特殊情况下求值域的几种方法.

　　对于一類含条件的函数的值域的求法可将条件转化为比例式，代入目标函数进而求出原函数的值域。
　　点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式設置参数，代入原函数
　　函数的值域为｛z|z≥1｝.
　　点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件将条件转化为比例式，通过设参數可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法具有一定的创新意识。

　　十一．利用多项式的除法 　　例5求函數y=(3x+2)/(x+1)的值域