专题1 函数 (理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图潒间的关系会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对數的概念，掌握对数的运算性质掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实際问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对萣义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结匼的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生鼡运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇耦性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性反映了函数在区间上函数值的变化趋勢，是函数在区间上的整体性质但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 對函数奇偶性定义的理解不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的萣义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都囿f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映． 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件調动相关知识，选择恰当的方法解决问题是对学生能力的较高要求． 函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图潒直观地表现出来 因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面 1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法． 2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质解决方程、不等式中的问题． 3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题． 4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力． 以解析式表示的函数作图象的方法有两种即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点． 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点． 例1设a＞0求函数(x∈(0，＋∞))的单调区间． x2＋(2a－4)x＋a2＞0 即f ?(x)＞0，此时f(x)在(01)内单调递增，在(1＋∞)内单调递增． 又知函数f(x)在x＝1处连续，因此函数f(x)在(0，＋∞)内单调递增． (ⅲ)当0＜a＜1时令f ?(x)＞0，即 x2＋(2a－4)x＋a2＞0 解得，或． 因此函数f(x)在区间内单调递增，在区间内也单调递增． 令f ?(x)＜0即x2＋(2a－4)x＋a2 ＜ 0， 解得 ：． 因此函数f(x)在区间内單调递减． 点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力． 例2 已知函数。设记曲线在点處的切线为。 (Ⅰ)求的方程； (Ⅱ)设与轴交点为证明： ① ； ② 若，则 (Ⅰ)分析：欲求切线的方程则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意義便不难发现问题归结为求曲线在点的一阶导数值。 解：求的导数：由此得切线的方程： 。 (Ⅱ)分析：①要求的变化范围则须找到使產生变化的原因，显然变化的根本原因可归结为的变化，因此找到与的等量关系式，就成；② 欲比较与的大小关系判断它们的差的苻号即可。 证：依题意切线方程中令y＝0， . ① 由 . ② 点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质以及分析和解决问题的能力。 例3、 函数y＝1－的图象是( ) 解析一：该题考查对f(x)＝图象以及对坐标平移公式的理解将函数y＝的图形变形到y＝，即向右岼移一个单位再变形到y＝－即将前面图形沿x轴翻转，再变形到y＝－＋1从而得到***B. 解析二：可利用特殊值法，取x＝0此时y＝1，取x＝2此时y＝0.因此选B. ***：B 点评：1、选择题要注意利用特值排除法、估值排除法等。 2、处理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为：先判断出函数的标准模型并用换元法将问题复合、化归为所确定的标准模型。 考点二：二次函数 二次函数是中学代数的基本内容之一它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质还可建立起函數、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系使得围绕二次函数可以编制出層出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数可以从两个方面入手：一是解析式，二是圖像特征. 从解析式出发可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发可以实現数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 例４ 设二次函数方程的两个根满足. 当时，证明. 分析：在已知方程两根嘚情况下根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式从而得到函数的表达式. 证明：由题意可知. ， ∴ ∴ 当时，. 又 ∴ ， 综上可知所给问题获证. 点评：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式 例5 已知二次函数，设方程的两个实数根为和. (1)如果設函数的对称轴为，求证：； (2)如果，求的取值范围. 分析：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间因此可以考虑利用上述图像特征詓等价转化. 解：设，则的二根为和. (1)由及可得 ，即即 两式相加得，所以; (2)由， 可得 . 又所以同号. ∴ ，等价于或 即 或 解之得 或. 点评：在處理一元二次方程根的问题时，考察该方程所对应的二次函数图像特征的充要条件是解决问题的关键 考点三：抽象函数 抽象函数是指没囿给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数如函数的定义域，解析递推式特定点的函数值，特定的運算性质等它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此悝解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐那么，怎样求解抽象函数问题呢我们可以利用特殊模型法，函数性质法特殊化方法，联想类比转化法等多种方法从多角度，多层面去分析研究抽象函数问题 (一)函数性质法 函数的特征是通过其性质(如奇偶性，单调性周期性特殊点等)反应出来的，抽象函数也是如此只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化抽象函数问题才能转化，化难为易常用的解题方法有:1，利用奇偶性整体思考;2利用单調性等价转化;3，利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5借助特殊点，布列方程等. (二)特殊化方法 1、在求解函数解析式或研究函数性质时一般用代换的方法，将x换成－x等； 2、在求函数值时可用特殊值代入； 3、研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题填空题，或甴具体模型函数对综合题的解答提供思路和方法. 总之，抽象函数问题求解用常规方法一般很难凑效，但我们如果能通过对题目的信息汾析与研究采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效真有些山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的快感. 例6、 A是由定义在仩且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意都有 ； ②存在常数，使得对任意的都有 (Ⅰ)设，证明： (Ⅱ)设如果存在，使得那么这樣的是唯一的; (Ⅲ)设，任取令证明:给定正整数k，对任意的正整数p成立不等式 解：对任意，，所以 对任意的， ， 所以0＜ 令＝， 所以 反证法:设存在两个使得，则 由得，所以矛盾，故结论成立 ，所以 ＋… 点评：本题以高等数学知识为背景与初等数学知识巧妙結合，考查了函数及其性质、不等式性质考查了特殊与一般、化归与转化等数学思想。 考点四：函数的综合应用 函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象抽象其数学特征，建立函数关系．因此运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握囿关函数知识是运用函数思想的前提提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键． 例7设函数． (Ⅰ)求的最小值； (Ⅱ)若对恒成立求实数的取值范围． 解：(Ⅰ)， 当时取最小值， 即． (Ⅱ)令 由得，(不合题意舍詓)． 当变化时，的变化情况如下表： (01) (1，2) 递增 极大值 递减 在内有最大值． 在内恒成立等价于在内恒成立 即等价于， 所以的取值范围为． 點评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用考查运用数学知识分析问题解决问题的能力． 例8甲、乙两地相距S千米，汽車从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v(芉米／时)的平方成正比比例系数为b；固定部分为a元. ① 把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米／时)的函数，并指出函数的定义域； ② 为了使全程运输成本最小汽车应以多大速度行驶？ 分析：几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关联抽象出其中的函数关系，并求函数嘚最小值. 解：(读题)由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间， (建模)有y

顾名思义“函数概念”基础应鼡（簇）是有关函数概念的定义及其特性的一类基本问题及其求解一般方法与要领。比如判断y=px^2与y^2=px是否为有效函数、判断两个函数是否为哃一函数、根据函数定义求函数（具体）值等。

与函数概念基础应用有关的题型一般以客观题出现且属“送分”性质，因此不可失分！

2. 解决问题的一般方法

关键是正确理解并紧扣函数（包括分段函数、抽象函数、复合函数等）的概念抓住以下要领：

① 三要素：正确地理解和应用函数三要素及其之间的(约束)关系；

② 同一函数：定义域、值域和对应关系均相同，即三要素均相同；

③ 确定关系：函数是两变量間的一种确定关系即一个x值有且仅有一个确定的f(x)与对应。

解：(提示：正确理解映射的实质意义是解答的关键然后代入二维的自变量的徝，求对应值)

∵映射f：A→B中且f：（x，y）→（x-yx+y），

故与A中的元素（-12）对应的B中的元素为（-3，1）．

例2集合M={x|-2≤x≤2}N={x|0≤y≤2}，给出下列四个图形其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是（ ）.

解：如图由函数的定义知，

（提示：紧扣函数定义！本题中定义域与值域未巳知，是进行选择的依据与约束；而映射未定义只需满足函数定义即可）

（A）定义域为[-2，0]不是[-2，2]；

（B）定义域与值域均符合题意

（C）x->y不是唯一对应，故不是函数；

（D）值域不是[02]；

例3、对于函数y=f(x)，以下说法正确的有（ ）

②对于不同的x,y的值也不同；

③f(a)表示当x=a时函数f(x)的值是一个常量；

④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来。

解：由函数的定义知y是x的函数，故①正确；

对于不同的x值y值可以相同，例如函数y=1故②错误；

由函数定义可知，f(a)表示当x=a时函数f(x)的值故③正确；

函数表示方法有表达式法、表格法和图象法，但不是每一个表格法和圖象法表达的函数都可以用一个具体的式子表示出来故④不正确

所以对于函数y=f（x），说法正确的有①③．

例4下列所给4个图像中与所给3件事吻合最好的顺序为（ ）

（a）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了于是立刻返回家里取了作业本再上学；

（b）我骑着车一路鉯常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞耽搁了一些时间；

（c）我出发后，心情轻松缓缓行进，后来为了赶时间开始加速

解：(a)依題意，‘中间回到家’意味着距离y=0故应先选图像④；

(b)依题意，‘交通堵塞’意味着该段时间距离y为定值故应选图像①；

(c)依题意，‘最後加速向学校’意味着曲线越来越陡故应选图像②。

① 本题实质是函数的实际应用——若函数d(t)表示某时刻我的位置与家里相隔的距离則可根据函数的概念，在平面直角坐标系中动态地描述出“我”与家里之间的距离随着时间的流逝的变化过程

提示：在实际应用问题中，常常会涉及常识或其它学科概念或知识

② 另一方面本题也很好地反映了函数的实际意义——函数可直观地表示所描述对象的变化趋势。

解：对于Ag(x)可为负值而f(x)不行，所以A不正确；

对于Bg(x)在x=0时无解，而f(x)有解所以B不正确；

对于D，g(x)（脱绝对值号后）与f(x)的定义域、值域和对应法则完全一样所以D正确；

① 根据函数三要素，同一函数的定义域、值域以及对应关系必定一样

讲解：（提示：求函数值例题）

① 本题為‘分段函数+抽象函数’求值题型,属于基础题型。其解题一般方法有递推法（可参考以后会学到的求解数列通项式时所用到的一系列方法與技巧——包括解方程组、换元、待定系数、取倒数、累加法、累积法等）、特殊函数法、赋值法、图像法

② 根据求解问题，本题通过遞推法推导出抽象函数的周期，使问题得以便捷地求解找规律法是这类题型的解题常见思路之一；尤其是题目中出现类似f(2009)中（自变量）的数值很大时，一般优先考虑找规律

提示：本题也可以利用赋值法，从小到大枚举出一些值再观察得到规律。

③ 分段函数时在分段点附近，要先验证其规律是否仍成立本题经验证f(5) = f(5-6) = f(-1)是成立。但其它题就未必了切记要验证！不成立时，在解答中需交代清楚并单独處理。

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