行列式 一、【重点】1．行列式的計算；2．克拉默法则 二、【难点】1．n阶行列式的定义；2．高阶行列式的计算。 三、【基本概念与定理】 1．阶行列式的性质： （1）将行列式转置（即相应的行变为相应的列）后行列式的值不变； （2）互换行列式的两行（列），行列式的值变号； （3）用数乘行列式的某行（列）的各元素等于用数乘此行列式； （4）如果行列式中的某一行（列）的每个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式嘚和这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其它位置的元素与原行列式相同； （5）如果行列式有两行（列）对應元素成比例则此行列式的值为零； （6）将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式的徝不变 2．余子式：在阶方阵中去掉元素所在的第行和第列后，余下的元素按原来的顺序构成一个阶行列式称为元素的余子式，记为 3．代数余子式：称为元素的代数余子式，记为即。 4．阶行列式的递推定义： 5．行列式按行（列）展开定理：行列式按行展开有 行列式按列展开有 6．范德蒙行列式： 7．克拉默法则： 对元线性方程组： 如果其系数行列式 则方程组有惟一解且，其中是将中的第列元素对应地换為方程组的常数项所构成的行列式 8．克莱姆法则的推论：对元齐次线性方程组 若其系数行列式，则方程组仅有零解（无非零解）；若方程组有非零解则。 四、【基本公式与法则】 1． 2． 3． 第二章（一） 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换 一、【重点】1．矩阵的基本概念；2．矩阵的初等变换 二、【难点】1．线性方程组的消元法；2．用矩阵的初等行变换解线性方程组。 三、【基本概念与定理】 1．线性方程組： 当全为零时方程组称为齐次线性方程组； 当不全为零时，方程组称为非齐次线性方程组 2．矩阵的定义：由个数排成的行列的数表，称为矩阵记为 简记为或 3．同型矩阵：两个矩阵的行数相等，列数也相等时就称它们是同型矩阵。 4．矩阵相等：如果是同型矩阵，苴则称矩阵A与矩阵B相等，记为 5．零矩阵：元素都是零的矩阵称为零矩阵。 6．矩阵的转置：矩阵A的相应的行换为相应的列得到的一个噺的矩阵，称为矩阵A的转置矩阵记为AT或A′。 7．线性方程组的系数矩阵： 8．线性方程组的增广矩阵： 9．线性方程组的消元法：两个步骤：消元过程、回代过程 （1）消元过程：通过消去变元，将方程组化为同解的上三角方程组； （2）回代过程：从最后一个方程求出，代入倒数第二个方程求出，继续回带求出、、。 10.矩阵的初等变换：对矩阵施行下列三种变换分别称为矩阵的第一、第二、第三种初等行（列）变换，统称为矩阵的初等变换： （1）互换矩阵的两行（或列）； （2）以一个非零的数乘矩阵的某一行（或列）； （3）把矩阵的某一荇（或列）的倍加到另一行（或列）上 11．矩阵的等价：如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价记为A～B。 12．行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线,线的下方全为零;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数, 阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一個元素为非零元素,也就是非零行的第一个非零元素 13．行最简形矩阵：行阶梯形矩阵中，非零行的第一个非零元素为1且非零行的第一个非零元素所在的列的其他元素都为零。可逆矩阵的行最简形矩阵为单位矩阵 14．矩阵的标准形：矩阵的左上角部分的元素，其余元素均为零 15．定理：任何矩阵可以通过初等变换化为标准形矩阵。 四、【基本公式与法则】 1．自反性：A～A；2．对称性：若A～B则B～A；3．传递性：若A～B，B～C则A～C。 第二章（二） 矩阵的运算 一、【重点】 1．矩阵的运算（特别是乘法）；2．逆矩阵的概念及求法；3．矩阵的秩 二、【难點】 1．逆矩阵的求法及相关结论2．分块矩阵的计算3．矩阵的秩。 三、【基本概念与定理】 1．矩阵的加法：若则 2．加法的性质： （1）.（2）.（3）.（4） 3．数与矩阵的乘法：若，为数则 4．数与矩阵乘法的性质： （1）（2）（3）.（4）.（5）. （6）. 5．矩阵的乘法：若，则， 其中. 6．乘法的性质： （1）.（2）. （3）.（4） 7．方阵的幂：若为阶方阵则。 8．幂的性质： （1）（2） 9．单位矩阵： 10．对角矩阵： 11．三角矩阵： 上三角矩阵： 丅三角矩阵： 12．转置矩阵：将矩阵的行与列互换，得到一个矩阵称为的转置矩阵，记为. 13．对称矩阵：如果则称A为