给定集合X映射U：X→P(P(X))（其中P(P(X))是X的冪集的幂集），U将X中的点x映射到X的子集族U(x)）称U(x)是X的域系以及U(x)中的元素（即X的子集）为点x的域，当且仅当U满足以下的域公理：

对域公理的解释：域公理是现代数学拓扑结构的基础概念是定义拓扑的五套等价公理之一。这套公理直接定义了空间上的整套领域系而非简单定義某个点的域。映射U即是将x映射至x域组成的集合

U1的解释：若A是x的域，则x属于A这是显然的。

U2的解释：若A和B都是x的域则A和B的交集也是x的域。即域对于有限交运算封闭

U3的解释：若A是x的域，则所有包含A的集合都是x的域

U4的解释：若A是x的域，则存在一个被A包含的集合B（可以相等）使得B是其中所有点的域。换言之若x有一个域，那么一定可以将其缩小缩小到它是其中所有点的域。更关键的这样的域当且仅當它是X中的开集，这也是域公理为何等价于开集公理从而可以通过它定义X上拓扑的原因。

若x的域同时是X中的开集称其为x的开域；若它哃时是X中的闭集则称其为x的闭域。

拓扑空间XX的子集A是开集，当且仅当A是其中所有点的域（显然由此可知，从域公理出发可以等价地定義拓扑空间）

拓扑空间X，X的子集A和A°，A°是A的开核当且仅当A° = {x | ?U∈U(x)，U?A}

拓扑空间X，X的子集A和A’A‘是A的闭包，当且仅当A’ = {x | ?U∈U(x)U∩A ≠ ?}。

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