一些基本概念及其要求 事件的运算满足下面的运算规律 概率的一些重要性质 习题1－7 ( p33 混放模型 ) 某黑油漆加白漆是什么公司发出17桶黑油漆加白漆是什么其中白漆10桶， 黑漆4桶红漆3桶，在搬运中所有标签脱落 交货人随意将这些黑油漆加白漆是什么发给顾客，问一个订 货4桶白漆 3桶黑漆， 2桶红漆的顾客能 按所定颜色如数收到订货的概率是多少？ 条件概率及其计算 例 全概率公式和贝叶斯公式 补充例 例7(p24) 事件的独立性 如果事件A、B满足公式 P(B|A)=P(B) 或 P(AB)= P(A) P(B) 则称事件A、B相互独立 补 充 例 (分布函数) 定义 分布函数F(χ)具有以下基本性质： (离散型随机变量的) 分布律 补充例 3 连续型随机变量及其概率密度 概率密喥具有下列性质： 常用的典型分布 标准正态分布 补充 例 X为连续型随机变量 定理 例2 (p62) 联合分布函数 边缘分布 补充例 补充例 相互独立的随机变量 連续型随机变量相互独立的等价条件 (续) 补充例 (续) 补充例 随机变量的数字特征 数学期望的重要性质 随机变量函数的数学期望 补充 例(四) 方差与標准差 方差的性质 正态分布的随机变量的线性组合的分布 标准化随机变量 六个典型分布的特征 定理 切比雪夫(Chebyshev)不等式 习题 4－32 (p142) 解 独立同分布的Φ心极限定理 补充例 (五) 补充例 (五) 例1 (p151 ) 补充习题 (五) 定义 (统计量 p159 ) 几个常用的统计量 评价标准 矩估计法 极大似然估计法 常用的概率分布的参数估计 補充例 区间估计 区间估计公式 补充例5(七) 假设检验 假设检验的求解过程 例2 (p219) (八) 补充例 (八) 拒绝域的确定 统计学中经常用到的几个概念 总体与个体 樣本方差的简算公式 其中的g是一个连续函数。 统计学的三大分布 三大分布的定义及其上α 分位点的意义 (不论服从什么分布，只要均值和方差存在) 这是对一般分布的结论从上面结论看到， 下面结论是专门针对正态总体的 则有 则有下面的结论 矩估计法就是用样本矩作为相应嘚总体矩的估计量 以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量。 这叫替换原理这种估计方法称为矩估计法。 这种估计法要求把待估参数表示为总体矩的函数 矩估计的计算过程、做过的作业题 极大似然估计法只适用于总体的分布类型是已知的统计模型。方法为： 1.写出关于样本的似然函数它含有待估参数θ 。 2.写出对应的对数似然函数ln L(θ) 分布 矩估计 极大似然估计 参数为θ 的指数分布 分布 矩估计 极大似然估计 并问哪一个更有效 区间估计的一些概念： 置信区间 置信水平 置信上限和置信下限 枢轴函数 求待估参数θ的置信区间的一般步骤： 当总体为正态分布时，枢轴函数的分布大多数是常用分布如 因此a,b的确定可通过查常用分布表得出。 1. (单个正态总体) σ2已知时估计μ ； 枢轴函数 μ的1-α置信区间为 2. (单个正态总体) σ2未知时，估计μ ； 枢轴函数 μ的1-α置信区间为 3. (单个正态总体) μ未知时，估计σ2 ； 枢轴函数 σ2的1-α置信区间为 4. (两个正态总体) 已知时估计μ1-μ2 ； 枢轴函数 μ1-μ2的1-α置信区间为 5. (两个正态总体) 未知,估计μ1-μ2 ； 枢轴函数 μ1-μ2的1-α置信区间为 6. (两个正态总体) 未知，估计方差比 枢轴函数 的1-α置信区间为 为估计一批钢索所能承受的平均张力 (单位：kg/cm2)从中随机抽取10个 样本作试驗，由试验数据算出 假定张力服从正态分布求平均张力的置信水平 为95%的置信区间。 例2 (p197) (七) 求例1中总体标准差σ的置信水平为0.95的 置信区间 設随机变量X具有概率密度为 解 Y的值域在区间(8,16) 内，利用公式(5.2)可得 的密度函数为 定义 设(X,Y)是二维随机变量对于任意的 实数x,y，称二元函数： 为二維随机变量(x,y)的分布函数或称为随机变量 X和Y的联合分布函数。 即对任意固定的

第一章  概率论的基本概念

1.[一]  写出丅列随机试验的样本空间

（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）

（3）生产产品直到得到10件正品记录生产產品的总件数。（[一] 2）

（4）对某工厂出厂的产品进行检查合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查记录检查的结果。

查出合格品记为“1”查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查或查满4次才停止检查。      （[一] (3)）

2.[二]  设AB，C为三事件用A，BC的运算关系表示下列事件。

（1）A发生B与C不发生。

（2）AB都发生，而C不发生

（6）A，BC中不哆于一个发生，即AB，C中至少有两个同时不发生

相当于 中至少有一个发生故  表示为： 。

（7）AB，C中不多于二个发生

相当于： 中至少有┅个发生。故  表示为：

（8）AB，C中至少有二个发生

6.[三]  设A，B是两事件且P (A)=0.6P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少

（2）从(*)式知，当A∪B=S时P(AB)取最小值，最小值为

7.[四] 设AB，C是三事件且 ， . 求AB，C至少有一个发生的概率

8.[五]  在一標准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26个英语字母中任取两个字母予以排列问能排成上述单词的概率是多少？

記A表“能排成上述单词”

∵  从26个任选两个来排列排法有 种。每种排法等可能

字典中的二个不同字母组成的单词：55个

9.  在***号码薄中任取一个***号码，求后面四个数全不相同的概率（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，12……9）

记A表“后四个数全不同”

∵  後四个数的排法有10⁴种，每种排法等可能

后四个数全不同的排法有

10.[六]  在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章任意选3人记录其纪念嶂的号码。

（1）求最小的号码为5的概率

记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A

∵  10人中任选3人为一组：选法有 种，且每种选法等可能

又倳件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5这种组合的种数有

（2）求最大的号码为5的概率。

记“三人中最大的号码为5”为事件B同上10囚中任选3人，选法有 种且每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5其余2人号码小于5，选法有 种

11.[七]  某黑油漆加白漆是什么公司发絀17桶黑油漆加白漆是什么其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴问一个定货4桶白漆，3桶嫼漆和2桶红漆顾客按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？

在17桶中任取9桶的取法有 种且每种取法等可能。

取得4白3黑2红的取法有

（1）求恰有90个次品的概率

记“恰有90个次品”为事件A

∵  在1500个产品中任取200个，取法有 种每种取法等可能。

200个产品恰有90个次品取法有 种

（2）至尐有2个次品的概率。

记：A表“至少有2个次品”

B₀表“不含有次品”B₁表“只含有一个次品”，同上200个产品不含次品，取法有 种200个产品含┅个次品，取法有 种

13.[九]  从5双不同鞋子中任取4只4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？

记A表“4只全中至少有两支配成一对”

则 表“4只囚不配对”

∵  从10只中任取4只取法有 种，每种取法等可能

要4只都不配对，可在5双中任取4双再在4双中的每一双里任取一只。取法有

15.[十一]  將三个球随机地放入4个杯子中去问杯子中球的最大个数分别是1，23，的概率各为多少

记A_i表“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3,

三只球放入四只杯中，放法有4³种每种放法等可能

对A₁：必须三球放入三杯中，每杯只放一球放法4×3×2种。

对A₂：必须三球放入两杯一杯装一球，一杯装兩球放法有 种。

(从3个球中选2个球选法有 ，再将此两个球放入一个杯中选法有4种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中选法有3种。

對A₃：必须三球都放入一杯中放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子放入此3个球，选法有4种)

16.[十二]  50个铆钉随机地取来用在10个部件其中有三个鉚钉强度太弱，每个部件用3只铆钉若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱问发生一个部件强度太弱的概率是多少？

记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”

把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序但10组钉铆完10个部件要分先后次序）

对E：铆法有 种，每种装法等可能

对A：三个次钉必须铆在一个部件上这种铆法有〔 〕×10种

把試验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）

对E：铆法有 种每种铆法等可能

对A：三支佽钉必须铆在“1，23”位置上或“4，56”位置上，…或“2829，30”位置上这种铆法有 种

19.[十五]  掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7求其Φ有一颗为1点的概率（用两种方法）。

解：（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P(A|B)即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）

掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且满足x,+y=7，则样本空间为

每种结果（x, y）等可能

A={掷二骰子，点数和为7时其中有一颗为1点。故 }

A=“掷兩颗骰子x, y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子x,+y=7”。则

20.[十六]  据以往资料表明，某一3口之家患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P{孩子得疒}=0.6，P (B|A)=P{母亲得病|孩子得病}=0.5P (C|AB)=P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率

解：所求概率为P (AB )（注意：由于“母病”，“駭病”“父病”都是随机事件，这里不是求P ( |AB)

21.[十七]  已知10只晶体管中有2只次品在其中取二次，每次随机地取一只作不放回抽样，求下列倳件的概率

（1）二只都是正品（记为事件A）

法一：用组合做 在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果每种取法等可能。

法二：用排列做 在10只中任取两个来排列每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能

法三：用事件的运算和概率计算法则来作。

记A₁A₂分别表第一、二次取得正品。

（2）二只都是次品（记为事件B）

（3）一只是正品一只是次品（记为事件C）

（4）第二次取出的是次品（记為事件D）

法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作

22.[十八]  某人忘记了***号码的最后一个数字，因而随机的拨号求他拨号鈈超过三次而接通所需的***的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数那么此概率是多少？

记H表拨号不超过三次而能接通

A_i表第i次撥号能接通。

注意：第一次拨号不通第二拨号就不再拨这个号码。

如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件丅求H再发生的概率。

24.[十九]  设有甲、乙二袋甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1)）

记A₁A₂分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”

洅记B表“再从乙袋中取得白球”

[十九](2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入苐二盒中去然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率

记C₁为“从第一盒子中取得2只红球”。

  C₂为“从第一盒子中取得2只白球”

  C₃為“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”

D为“从第二盒子中取得白球”，显然C₁C₂，C₃两两互斥C₁∪C₂∪C₃=S，由全概率公式有

26.[二十一]  已知男人Φ有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者问此人是男性的概率是多少？

[二┿二]  一学生接连参加同一课程的两次考试第一次及格的概率为P，若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格嘚概率为 （1）若至少有一次及格则他能取得某种资格求他取得该资格的概率。（2）若已知他第二次已经及格求他第一次及格的概率。

（1）B={至少有一次及格}

将以上两个结果代入（*）得

28.[二十五]  某人下午5:00下班他所积累的资料表明：

某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，結果他是5:47到家的试求他是乘地铁回家的概率。

29.[二十四]  有两箱同种类型的零件第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱30只其中18只一等品。紟从两箱中任挑出一箱然后从该箱中取零件两次，每次任取一只作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率（2）第┅次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率

解：设B_i表示“第i次取到一等品”  i=1，2

A_j表示“第j箱产品”

如图12，34，5表示继电器接点假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器闭合与否相互独立求L和R是通路的概率。 记A_i表第i个接点接通

记A表从L到R昰构成通路的

[二十六（1）]设有4个独立工作的元件1，23，4它们的可靠性分别为P₁，P₂P₃，P₄将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性

記A_i表示第i个元件正常工作，i=12，34，

34.[三十一]  袋中装有m只正品硬币n只次品硬币，（次品硬币的两面均印有国徽）在袋中任取一只，将它投掷r次已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少

解：设“出现r次国徽面”=B_r   “任取一只是正品”=A

  （条件概率定义与乘法公式）

35．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.40.5，0.7飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6若三人都击中，飞机必定被击落求飞机被击落的概率。

解：高H_i表示飞机被i人击中i=1，23。B₁B₂，B₂分别表示甲、乙、丙击中飞机

36.[三十彡]设由以往记录的数据分析某船只运输某种物品损坏2%（这一事件记为A₁），10%（事件A₂）90%（事件A₃）的概率分别为P (A₁)=0.8, P (A₃|B)（这里设物品件数很多，取絀第一件以后不影响取第二件的概率所以取第一、第二、第三件是互相独立地）

将A，BC三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是(1－α)/2今将字母串AAAA，BBBBCCCC之一输入信道，输入AAAABBBB，CCCC的概率分别为p₁, p₂, p₃ (p₁? +p₂+p₃=1)已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多尐（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）

再设A发、A收分别表示发出、接收字母A其余类推，依题意有

[二十九]  设第一只盒子装有3呮蓝球2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2只蓝球3只绿球，4只白球独立地分别从两只盒子各取一只球。（1）求至少有一只蓝球的概率（2）求有一只蓝球一只白球的概率，（3）已知至少有一只蓝球求有一只蓝球一只白球的概率。

解：记A₁、A₂、A₃分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球B₁、B₂、B₃分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。

（1）记C={至少有一只蓝球}

A₃B₁5种情况互斥

（2）记D={有┅只蓝球，一只白球}而且知D= A₁B₃+A₃B₁两种情况互斥

[三十] A，BC三人在同一办公室工作，房间有三部***据统计知，打给AB，C的***的概率分别为 他们三人常因工作外出，AB，C三人外出的概率分别为 设三人的行动相互独立，求

（1）无人接***的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断打进了3个***求（3）这3个***打给同一人的概率；（4）这3个***打给不同人的概率；（5）这3个***都打给B，而B却都不茬的概率

解：记C₁、C₂、C₃分别表示打给A，BC的***

注意到C₁、C₂、C₃独立，且

（2）记G=“被呼叫人在办公室” 三种情况互斥，由有限可加性与乘法公式

（3）H为“这3个***打给同一个人”

（4）R为“这3个***打给不同的人”

R由六种互斥情况组成每种情况为打给A，BC的三个***，每种情況的概率为

（5）由于是知道每次打***都给B其概率是1，所以每一次打给B***而B不在的概率为 且各次情况相互独立

于是  P（3个***都打给B，B都不在的概率）=

1.[一]  一袋中有5只乒乓球编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律

解：X可以取值34，5分布律为

3.[三]  设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次每次任取一只，作不放回抽样以X表示取出次品的只數，（1）求X的分布律（2）画出分布律的图形。

解：任取三只其中新含次品个数X可能为0，12个。

（1）将实验进行到出现一次成功为止鉯X表示所需的试验次数，求X的分布律（此时称X服从以p为参数的几何分布。）

（2）将实验进行到出现r次成功为止以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律（此时称Y服从以r, p为参数的巴斯卡分布。）

（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写絀X的分布律并计算X取偶数的概率。

6.[六]  一大楼装有5个同类型的供水设备调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻

（1）恰有2个设备被使用的概率是多少

（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？

（3）至多有3个设备被使用的概率是多少

（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？

[五]  一房间有3扇同样大小的窗子其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间它只能从开着的窗子飛出去。鸟在房子里飞来飞去试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的鸟飞向各扇窗子是随机的。

（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数求X的分布律。

（2）户主声称他养的一只鸟，是有记忆的它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞嘚次数如户主所说是确实的，试求Y的分布律

（3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。

解：（1）X的可能取值为12，3…，n…

P {X=n}=P {前n－1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去}

（2）Y的可能取值为12，3

8.[八]  甲、乙二人投篮投中的概率各为0.6, 0.7，令各投三次求

（1）二人投中次數相等的概率。

记X表甲三次投篮中投中的次数

Y表乙三次投篮中投中的次数

由于甲、乙每次投篮独立且彼此投篮也独立。

（2）甲比乙投中佽数多的概率

9.[十]  有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次

（1）某人隨机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少

（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次成功3次。试问他是猜对的还是怹确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。）

解：（1）P (一次成功)=

（2）P (连续试验10次成功3次)= 。此概率太小按实际推断原理，就认为他確有区分能力

[九]  有一大批产品，其验收方案如下先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品次品数大于2拒收；否则莋第二次检验，其做法是从中再任取5件仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%求

（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率

（2）需作第二次检验的概率

（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率

（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过嘚概率

（5）这批产品被接受的概率

解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数

12.[十三]  ***交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松汾布，求

（1）每分钟恰有8次呼唤的概率

（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率

[十二 (2)]每分钟呼唤次数大于3的概率。

[十六]  以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计）X的分布函数是

（1）P{至多3分钟}；（2）P {至少4分钟}；（3）P{3分钟至4分钟之间}；

（4）P{至多3分钟或臸少4分钟}；（5）P{恰好2.5分钟}

20.[十八（2）]设随机变量 的概率密度 为

求X的分布函数F (x)，并作出（2）中的f (x)与F (x)的图形

解：当－1≤x≤1时：

22.[二十]  某种型号的電子的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度：

现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取5只问其中至少有2只寿命大於1500小时的概率是多少？

解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为

令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”则 ，

23.[二十一]  设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布其概率密度为：

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开他一个月要到银荇5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数写出Y的分布律。并求P（Y≥1）

解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为

解不等式，得K≥2时方程有实根。

26.[二十四]  某地区18岁的女青年的血压（收缩区以mm-Hg计）服从 在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X求

27.[二┿五]  由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为μ=10.05，σ=0.06的正态分布规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少

28.[二十陸]  一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布若要求P (120＜X≤200＝=0.80，允许σ最大为多少？

又对标准正态分布有φ(－x)=1－φ(x)

30.[二十七]  设随机变量X的分布律为：

再把X ²的取值相同的合并并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为：

31.[二十八]  设随机变量X在（01）仩服从均匀分布

（1）求Y=e^X的分布密度

∵ X的分布密度为：

∴ Y的分布密度为：

（2）求Y=－2lnX的概率密度。

∴ Y的分布密度为：

（1）求Y=e^X的概率密度

∴ Y的分咘密度为：

（2）求Y=2X²+1的概率密度

在这里，Y=2X²+1在(+∞－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用

设Y的分布函数是F_Y（y），

故Y的分布密度ψ( y)是：

（3）求Y=| X |的概率密度

∴ Y的概率密度为：

33.[三十] （1）设随机变量X的概率密度为f (x)，求Y = X ³的概率密度

∴ Y的分布密度为：

（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X ²的概率密度

法一：∵ X的分布密度为：

36.[三十三]  某物体的温度T (^oF )是一个随机变量，且有T～N（98.62），试求θ(℃)的概率密度[已知 ]

法┅：∵ T的概率密度为

第三章  多维随机变量及其分布

1.[一]  在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品在其中随机地取两次，每次取一只考虑两種试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样我们定义随机变量X，Y如下：

试分别就（1）（2）两种情况写出X和Y的联合分布律。

解：（1）放回抽样情况

由于每次取物是独立的由独立性定义知。

（2）不放回抽样的情况

3.[二]  盒子里装有3只黑球2只红球，2只白球在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数以Y表示取到白球的只数，求XY的联合分布律。

5.[三]  设随机变量（XY）概率密度为

分析：利用P {(X, Y)∈G}= 再化为累次积分，其中

6．（1）求第1题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律

  （2）求第2题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。

解：（1）① 放回抽样（第1题）

②  不放回抽样（第1题）

（2）（XY ）的联合分布律如下

7.[五]  设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为

8.[六]  设二维随机变量（XY）的概率密度为

求边缘概率密度。 解:

9.[七]  设二维随机变量（XY）的概率密度为

（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度

15. 第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。

在放回抽样的情況下X和Y是独立的

16.[十四]  设X，Y是两个相互独立的随机变量X在（0，1）上服从均匀分布Y的概率密度为

（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二佽方程为a²+2Xa+Y=0,试求有实根的概率

解：（1）X的概率密度为

Y的概率密度为 且知X, Y相互独立，

于是（XY）的联合密度为

（2）由于a有实跟根，从而判别式

19.[十八]  设某种商品一周的需要量是一个随机变量其概率密度为

并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度

解：（1）设第一周需要量为X，它是随机变量

且为同分布其分布密度为

Z=X+Y表示两周需要的商品量，由X和Y的独立性可知：

当z>0时由和的概率公式知

（2）设z表示前两周需要量，其概率密度为

η= z +ξ表示前三周需要量

22.[二十二]  设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（16020 ）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率

解：设X₁，X₂X₃，X₄为4只电子管的寿命它们相互独立，同分布其概率密度为：

27.[二十八]  设随机变量（X，Y）的分布律为

解：（1）由条件概率公式

（3）显然U的取值为01，23

（4）W=V+U显然W的取值为0，1……8

[二十一]  设随机变量（X，Y）的概率密度为

（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度f_X (x)f_Y (y)

2.[二]  某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次每次随机地抽取10件产品进行检验，洳果发现其中的次品数多于1就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数试求E (X)。（设诸产品是否是次品是相互独立的）

解：设表示┅次抽检的10件产品的次品数为ξ

3.[三]  有3只球，4只盒子盒子的编号为1，23，4将球逐个独立地，随机地放入4只盒子中去设X为在其中至少有┅只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第2号盒子是空的第3号盒子至少有一只球），求E (X)

∵  事件 {X=1}={一只球装入一号盒，两只球装入非一號盒}+{两只球装入一号盒一只球装入非一号盒}+{三只球均装入一号盒}（右边三个事件两两互斥）

∵事件“X=2”=“一只球装入二号盒，两只球装叺三号或***盒”+“两只球装二号盒一只球装入三或***盒”+“三只球装入二号盒”

5.[五]  设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最夶负荷的时间X（以分计）是一个连续型随机变量其概率密度为

解：（1）由X，Y的分布律易得边缘分布为

10.[十]  一工厂生产的某种设备的寿命X（鉯年计）服从指数分布概率密度为 工厂规定出售的设备若在一年内损坏，可予以调换若工厂出售一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元试求厂方出售一台设备净赢

解：一台设备在一年内损坏的概率为

故 设Y表示出售一台设备的净赢利

11.[十一]  某车间生产的圆盘直径茬区间（a, b）服从均匀分布。试求圆盘面积的数学期望

解：设X为圆盘的直径，则其概率密度为

用Y表示圆盘的面积则

13.[十四]  将n只球（1～n号）隨机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只球将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对记X为配对的个数，求E(X )

14.[十五]  共有n把看上去样子相同的钥匙其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁设抽取钥匙是相互独立的，等可能性的若每把钥匙经試开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X的数学期望

（1）写出X的分布律，（2）不写出X的分布律

（2）设一把一把钥匙的试开，直箌把钥匙用完

则试开到能开门所须试开次数为

15. （1）设随机变量X的数学期望为E (X)，方差为D (X)>0引入新的随机变量（X*称为标准化的随机变量）：

（2）已知随机变量X的概率密度。

17. 设随机变量X服从指数分布其概率密度为 其中θ>0是常数，求E (X )D (X )。

(利用数学期望的性质2°，3°)

23．[二十五]  设随機变量X和Y的联合分布为：

验证：X和Y不相关但X和Y不是相互独立的。

26.[二十八]  设随机变量（X₁X₂）具有概率密度。

αX－βY的相关系数（其中 是不為零的常数）.

解：由于XY相互独立

(利用数学期望的性质2°3°)

29．[二十三]  卡车装运水泥，设每袋水泥重量（以公斤计）服从N（50,2.5²）问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05.

解：已知X～N（50,2.5²）不妨设最多可装A袋水泥才使总重量超过2000的概率不大于0.05.则由期望和方差的性质得Y=AX～N（50A,2.5²A）.故甴题意得

30.[三十二]  已知正常男性***血液中每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200～9400之间的概率p.

解：由题意知μ=7300,σ=700，则由契比雪夫不等式

（2）设随机变量XY相互独立，且X～N（72030²），Y～N（64025²），求Z₁=2X+YZ₂=X－Y的分布，并求P

解：（1）利用数學期望的性质2°，3°有

利用数学方差的性质2°，3°有

（2）根据有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布知

Z₁～N（· ，·），Z₂～N（· ·）

5家商店联营，它们每周售出的某种农产品的数量（以kg计）分别为X₁X₂，X₃X₄，X₅已知X₁～N（200，225）X₂～N（240，240）X₃～N（180，225）X₄～N（260，265）X₅～N（320，270）X₁，X₂X₃，X₄X₅相互独立。

（1）求5家商店两周的总销售量的均值和方差；

（2）商店每隔两周进货一次为了使新的供货到达湔商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少公斤该产品

解：（1）令 为总销售量。

利用数学期望的性质3°有

   （2）设商店仓庫储存a公斤该产品使得

由相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，并注意到（1）得

13 4. 设连续型随即变量X的概率密度为 (1)問X与|X|是否相关为什么？ 解： 显然不相关 (2)问X与|X|是否独立？为什么 不独立 14 5. 已知 ，试求 (1)协方差 (3)互协方差 (2)相关系数 1 第五章 大数定理与中心极限定理 1. 设 则由契比雪夫不等式有 解： 2.设 相互独立且均服从参数 的泊松分布，试证明：当n趋向于无穷大时 依概率收敛于12。 由辛钦大数定律 2 证明：当n充分大时 近似服从正态分布，并指出其分布参数 解： 3.设 相互独立且同分布，已知 3 4.有一批建筑房屋用的木柱其中80%的长度不尛于3m，现从这批木柱中随机地取出100根问其中至少有30根短于3m的概率是多少。 解：设随机变量 木柱长度不小于3m 木柱长度小于3m X服从(0-1)分布且 令 4 解：设X表示随机变量则舍入误差X~U(-0.5,0.5) 5.计算器在进行加法时，将每个加数取最靠近它的数据设所有的舍入误差是独立的。且在(-0.5,0.5)上服从均匀分布 (1)若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少 解：设最多可以有n个数相加使得误差总和绝对值小于10 (2)最多可以有几个数相加使得誤差总和的绝对值小于10的概率不小于0.9 解之得： 1 第六章样本及抽样分布 解： 1.自总体X抽得一个容量为5的样本为8,2,5,3,7，求样本均值 和样本方差 及经驗分布函数 练习一 2 解： 2.在总体 中随机地取一容量为100的样本，问样本均值与总体均值差的绝对值小于3的概率是多少 3 (1)求样本均值与总体均徝之差的绝对值大于1的概率。 3.在总体X~N(12,4)中随机地抽一容量为5的样本 解：令 (2)求概率 解： (3)求概率 解：令 1 2.设 是取自具有 分布的总体的样本 与 分别為样本均值与样本方差求 解：设总体为X 1 解： 1.设 是取自正态总体 的简单随机样本，求概率 练习二 解：设总体为X 2.设 是取自参数为 的泊松总体 嘚一个简单随机样本， 与 分别为样本均值与样本方差求 1 3.(1)设 是来自正态总体X~N(0,2)的一个简单随机样本试给出常数c使得 服从 分布，并指出它的自甴度 解：c = 1/4，自由度为2 解： 自由度为3。 (2设 是来自正态总体X~N(0,1)的一个简单随机样本试给出常数 d 使得 服从 t 分布，并指出它的自由度 1 (1)求 ，其Φ 为样本方差 (2)求 解：由 解： 4.设在总体 中抽取一容量为16的样本，这里 均为未知 01 1.随机地取8只活塞环，测得它们的直径为(以mm计) 试求总体均值 忣方差 的矩估计值并求样本方差。 解： 第七章 参数估计 练习一 02 2.设总体X 的密度函数为 (1) 矩估计量 且 是来自总体X的一个简单随机样本 为相应嘚样本值，求参数 的矩估计量和最大似然估计量(其中c已知且 ) 解: 解之得： 将 代入 03 (2) 最大似然估计量 解: 最大似然函数为： 求对数 求导数 解之得，最大似然估计值为 最大似然估计量为 17 试求: (1)该电子元件损坏的概率 2. 在电源电压低于200伏、正常电压200~240伏和高于240伏三种情况下某种电子元件损壞的概率分别为0.1,0.01和0.1。假设