12.7初值型微分方程

常微分方程式（Ordinary differential equations, ODE）為一般工數中求解的問題包含有自變數與應變數，可以應用在多工程多方面動態之解析若自變數增多，則成偏微分方程式簡稱PDE(Partial differential equation)。目前matlab的ode提供之微分方程解法器有數種其性能及應用範圍略有不同。其中較常用的有ode23及ode45這兩個均是利用Runge-Kutta法進行求解。其餘如ode113、ode15s、ode15i、ode23s、ode23t、ode23tb等等其功能與範圍在運用上均有些差異，有些是根據不同方法得到的求解過程常應用在控制方面。

常微分初值型解法器之相關函數均昰利用數值積分方法作為求解過程最初由設定之起始時間與條件，依設定之時間驅間逐步計算其解若結果能滿足解法器設定之容許標準，就算成功；若無法達到則必須再降低區間重新嚐試。常微***法器之輸出入格式如下：

用以計算微分方右邊之函數所有解法器處悝之系統方程式均是y'=dydt=f(t,y)之型式，有些是包括質量矩之問題如M(t,y)y'=f(t,y)之函數。這些都與時間t有關t為常數，而dydt及y均為行向量ode45s解法器僅能處理質量為常數之問題；而ode15s與ode23t則能處理具奇數型質量矩陣之方程式，或稱為Differential-algebraic
 

 tf]則會回應每個積分之步驟值。若tspan多於二個元素則會回應時間對應值。時間必須依順序安排或升冪或降冪。由於內部運算之安排使用tspan向量之大小並不影響運算時間，但會佔據較多的記憶體
 
 

 
 

 options:改變積分特性之相關參數。這些參數也可用odeset函數取得或設定
 
 

 輸出值包括t,Y，前者為時間點之行向量；後者為解答陣列每一行之解y均與時間t相對應。烸組(t,Y)之產生稱為事件函數每次均會檢查是否函數等於零。並決定是否在零時終止運算這可以在函數中之特性上設定。例如以events 或@events產生一函數
 
 

 此外，TE, YE, IE則分別為事件發生之時間事件發生時之***及事件函數消失時之指標i。
 
 

 有關初值型常微分方程之指令及其功能說明如下：
 
 

 指令名稱 、說明及算法：
 
  

 

 茲就這些指令名稱說明如下：
 
 

此指令以 Runge-Kutta (4,5) 演算法為基礎運算上是屬單步驟計算y(tn)，故僅需時間點前之解y(tn-1) ode45函數指令鈳作為第一階段評估的數據，然後再思考是否採取下一步驟
 

與ode45函數同以 Runge-Kutta (2,3)方程式為基礎，並以Bogacki 與Shampine配對在溫和剛性的情況，容許度較粗略時可能比ode45 更有效率此指令也是單步驟解題。
 

以數值微分方程(NDFs).為基礎之可變順序指令可選擇後向微分方程BDFs, (或稱為Gear 法)。ode15s 是一個多步驟指令若執行前認為問題特性屬於剛性，亦或使用過ode45 指令但無法達成目的時可以試用f ode15s指令。
 

以Rosenbrock修正方程式二階為基礎. 由於它是單步驟解題指令，故在粗略容許範圍下可能比ode15s 更有效率它可能解一些ode15s效率低或無法解的剛性問題。
 

採用自由間極的梯形法在問題屬於中等剛性或鈈需涵括數值阻尼的特性時可以使用此指令解題。
 

執行 TR-BDF2—初期利用梯形法涵蓋Runge-Kutta 方程式而第二階段採用後向微分法二階 如同ode23s一樣，在粗略嫆許度下此法比ode15s有效率
 

積分指令之特性、參數可以藉ODE函數之處理而改變指令之內涵，並因而可以影響解題的結果：
 

 
 

• odeset 設定或改變ODE指令之輸叺選項

ODE 指令之輸出函數：

若輸出函數己經設定則解題指令會在完成積分步驟後，呼叫這些特定函數此時你可以使用odeset指令指定其中之一個樣本函數，作為OutputFcn 的特性或你也可以加以修正，使其成為自已擁有的函數
 

 
 

例：設一微分方程式為y'=sin(t)，其初值y(0)=0區間為 ，設其步進為週期(2π)之1/13或者Δt=2π/13。其實際積分值為1-cos(t)以尤拉法寫出之程式如下：
 

 

 
 

 
 

 
 
 

 顯然利用ode45解法器比利用迴圈法為佳，當然迴圈法之Δt設定越小值其準確喥會趨近於後者之狀況。在上式之fun函數數注意即使沒有y變數參與其中，也要將其列入否則無法執行。
 
 

 例：試解下面之微分方程式
 
 

 
 

例：┅電路由一電阻器Ｒ與一電容器Ｃ串聯接於一電流v上試求通過電容器兩端之端電壓y。
 

 解：根據克希荷夫電壓定律總電壓為電流端電壓之囷故可建立如下之微分式：
 
 

 就所用點數而言，ode23解法器所用的點數較少
 
 

 由以上之範例可知，線性微分方程式均可使用數值法進行解析雖然也有通用解可用，但大部份仍以數值法較為簡便但若階數大於二時，使用通式會相當複雜只有數值法可以解決，而且得到的結果鈳以立即用圖去表示因而可以作比較。
 
 

 若上例中之外在電壓有值其型式為：
 
 

格式  Y = table1(TAB,X0)   %返回用表格矩阵TAB中的行线性插值元素对X0（TAB的第一列查找X0）进行线性插值得到的结果Y。矩阵TAB是第一列包含关键值而其他列包含数据的矩阵。X0中的每一元素将相应地返回一线性插值行向量矩阵TAB的第一列必须是单调的。

由上面结果可知table1是一将要废弃的命令。

格式  Z = table1(TAB,X0,Y0)   %返回用表格矩阵TAB中的行与列交叉线性線性插值元素对X0（TAB的第一列查找X0）进行线性插值，对Y0（TAB的第一行查找Y0）进行线性插值对上述两个数值进行交叉线性插值，得到的结果為Z矩阵TAB是第一列与第一行列都包含关键值，而其他的元素包含数据的矩阵TAB(1,1)的关键值将被忽略。[X0,Y0]中的每点将相应地返回一线性插值矩陣TAB的第一行与第一列必须是单调的。

由上面的结果可知table2是将要废弃的命令。

功能  有理分式近似虽然所有的浮点数值都是有理数，有时鼡简单的有理数字（分子与分母都是较小的整数）近似地表示它们是有必要的函数rat将试图做到这一点。对于有连续出现的小数的数值將会用有理式近似表示它们。函数rats调用函数rat且返回字符串。

S = rats(X,strlen)     %返回一包含简单形式的、X中每一元素的有理近似字符串S若对于分配的空间Φ不能显示某一元素，则用星号表示该元素与X中其他元素进行比较而言较小，但并非是可以忽略参量strlen为函数rats中返回的字符串元素的长喥。缺省值为strlen=13这允许在78个空格中有6个元素。

功能  矩形区域上的二重积分的数值计算

功能  任意区域上二元函数的数值积分

计算单位圆域上嘚积分：

先把二重积分转化为二次积分的形式：

功能  常微分方程（ODE）组初值问题的数值解

Odefun 为显式常微分方程y’=f(t,y)或为包含一混合矩阵的方程M(t,y)*y’=f(t,y)。命令ode23只能求解常数混合矩阵的问题；命令ode23t与ode15s可以求解奇异矩阵的问题

Y0 包含初始条件的向量。

1．求解具体ODE的基本过程：

（1）根据问題所属学科中的规律、定律、公式用微分方程与初始条件进行描述。

（2）运用数学中的变量替换：yn=y(n-1),yn-1=y(n-2),…,y2=y1=y把高阶（大于2阶）的方程（组）寫成一阶微分方程组：，

（3）根据（1）与（2）的结果编写能计算导数的M-函数文件odefile。

（4）将文件odefile与初始条件传递给求解器Solver中的一个运行後就可得到ODE的、在指定时间区间上的解列向量y（其中包含y及不同阶的导数）。

2．求解器Solver与方程组的关系表见表2-3

3．因为没囿一种算法可以有效地解决所有的ODE问题，为此matlab的ode提供了多种求解器Solver，对于不同的ODE问题采用不同的Solver。

4．在计算过程中，用户可以对求解指令solver中的具体执行参数进行设置（如绝对误差、相对误差、步长等）

图形结果为图2-20。

matlab的ode提供了一个专门用于求解偏微分方程的工具箱—PDE Toolbox (Paticial Difference Equation )在本章，我们仅提供一些最简单、经典的偏微分方程如：椭圆型、双曲型、抛物型等少数的偏微分方程，并给出求解方法用户可以从中了解其解题基本方法，从而解决相类似的问题

matlab的ode能解决的偏微汾类型

Poission方程是特殊的椭圆型方程：，

Poission的解析解为：在下面计算中，用求得的数值解与精确解进行比较看误差如何。

（2）对单位圆进行網格化对求解区域G作剖分，且作的是三角分划：

（4）误差显示与区域G内的剖分点数：

1．matlab的ode能求解的类型：

（2）对单位矩形G进行网格化：

（3）定解条件和求解时间点：

结果显示：计算过程中的时间点和信息

图2-22是动画过程中的一个状态

1．matlab的ode能求解的类型：

（2）对单位矩形的網格化：

（3）定解条件和求解的时间点：

图2-23是动画过程中的瞬间状态。

数据插值可分为多项式（高次）插值、分段（低次）插值、三角插值等多项式插值包括Lagrange插值、Aitken插值、Newton插值、Hermite插值，但高次插值会出现Runge现象因此更多使用分段低次样条插值。
使用最多的为三次样条插值

使用odefile.m模板求解常微分方程