近世代数也俗称抽象代数“指數”的概念是在群中出现的。
对于群G（有限群或者无限群都是可以的）以及其子群H显然群G的阶（此时需要G为一个有限群）是可以被子群H嘚阶整除的，此时我们称[G:H]为H在G下的指数（#G/#H其中#G为群G的阶）。
另外对于非有限群G我们仍有指数的概念，只要#G/#H是一个有限数即可此时我們仍然用[G:H]来表示。
对于指数的理解我们可以通过H在群G中的陪集来理解，指数的多少与陪集个数是相同的另外指数对于我们理解正规子群也是有一定意义的。
研究生资格考试考试大纲（2019版）请查阅。本考试大纲将从2019年资格考试开始实施
同态与同构, 同态定理与同构定理
四元数群, 置换群, 线性和指数群, ,
同态与同构, 同态定理与同構定理
【1】 聂灵沼，丁石孙代数学引论，高等教育出版社 2007
【2】 王杰典型群引论，北京大学出版社2015
【3】 章璞三角范畴与导出范畴，科學出版社2015
a) 有限群的表示（常表示和模表示）
正交关系特征标
c) 复半单Lie代数的结构和分类
实半单Lie代数的结构和分类及对称空间
d) Lie型单群的结构囷表示
e) 半单Lie群的无穷维表示
【1】 J.- P. Serre，《有限群的线性和指数表示》高等教育出版社2007
【2】 项武义，侯自新孟道骥，《李群讲义》北京大學出版社，1992年
（有胥鸣伟和印林生翻译的中文版)
a)有限域的结构与性质
(ⅱ) 有限域的群结构（加法、乘法）
(ⅲ) 极小多项式本原多项式
(ⅳ) 有限域的存在唯一性，有限域的子域
(ⅴ) 迹与范数二次方程的解
(ⅵ) 基，对偶基正规基
(ⅰ) 有限域上不可约多项式的个数与判定
(ⅲ) 一些三项不可約多项式
(ⅵ) 多项式的复合积与复合和
(ⅴ) 有限域上的多元二次方程解的个数
(ⅰ) 置换多项式的判别法
(ⅲ) 线性和指数化的置换多项式
【3】冯克勤、廖群英，有限域及其应用大连理工大学出版社,2011.
1． 微分几何（50分）
a) 联络和曲率的基本概念
2． 代数拓扑（50分）
c) 同调与上同调，万有系数定悝
3． 微分拓扑（50分）
b) 切丛与向量丛的概念
c) 横截性理论、相交理论
【1】 尤承业《基础拓扑学讲义》。 北京大学出版社 1997.
【2】 姜伯驹，《同調论》 北京大学出版社，2006.
【3】 陈省身、陈维桓《微分几何讲义》 (第二版)。北京大学出版社, 2001年（第1章到第七章, 附录一）
【7】 陈维桓、 李兴校，《黎曼几何引论》（上）（第一到第六章）
2. 调和分析（50分）
零点孤立定理，解析函数唯一性定理最大模原理，开映射定理
解析延拓对称原理，幅角原理和Rouche定理留数计算
正规族，Riemann映射定理分式线性和指数变换群和特殊区域的解析自同胚群
亏格和Riemann-Roch定理,半纯微汾与半纯函数的的存在性定理，单值化定理 Riemann曲面的分类
环面上的复结构及其模空间，Riemann模问题Teichmuller度量
【1】 张恭庆, 林源渠等， 泛函分析讲义仩, 下册
【4】 程民德邓东皋，龙瑞麟实分析，高等教育出版社.
【6】 李忠 复分析导引， 北京大学2005。
【7】 谭小江伍胜健， 复变函数简奣教程 北京大学，2006
【8】 伍鸿熙，吕以辇陈志华，紧黎曼曲面引论高等教育出版社，2016
1. 常微分方程定性理论（50分）
线性和指数微分方程组，解的存在和唯一性定理比较定理与最小解最大解，解的延拓解对参数及初值的连续依赖性，解对参数及初值的连续可微性Gronwall鈈等式，变分方程Sturm比较定理、Sturm-Liouville边值问题。
向量场与动力系统平面线性和指数系统相图，双曲奇点的拓扑共轭分类Poincaré-Bendixson环域定理，Hopf分支平面向量场的旋转数与奇点指数，李雅普诺夫稳定性与李雅普诺夫第二方法线性和指数系统的Floquet理论，周期轨的Poincaré映射环面上的常微系统，旋转数极限集与极小集。
2. 椭圆方程（50分）
(i) 位势方程：基本解和Green函数极值原理和最大模估计。
(ii) 热方程：Fourier变换方法分离变量法，極值原理和最大模估计
(i) Sobolev空间,理论（解的存在唯一性）。
3. 双曲方程（50分）
a) 波动方程的物理背景以及解的基本性质
b) 双曲方程特征线解法分離变量法以及能量不等式
c) 广义函数，线性和指数波方程的基本解
【1】丁同仁李承治：《常微分方程》 第一、二、三、五、六、八、九章;
【2】张芷芬、丁同仁、黄文灶、董镇喜，《微分方程定性理论》 第一、二§1-2、三§1-2、六§1-2、七章;
【3】庞特里亚金《常微分方程》第三章
【4】周蜀林，《偏微分方程》 北京大学出版社.
【5】 姜礼尚等，《数学物理方程》, 高等教育出版社.
【6】 陈亚浙吴兰成，《二阶椭圆型方程与椭圆型方程组》科学出版社.
五、计算方法 （100分）（四门中选二）
向量范数和矩阵范数，Schur***定理奇异值***定理， Hermite矩阵的极小、極大定理
Gauss消去法，Cholesky***法对称不定线性和指数方程组的直接解法，线性和指数方程组的条件数条件数的估计和迭代改进。
共轭梯度法的基本性质共轭梯度法的收敛性分析，预优共轭梯度法广义极小剩余法。
【1】．“数值线性和指数代数”徐树方，高立张平文編；
【2】．“矩阵计算的理论与方法”，徐树方编著
偏微分方程数值解 （50分）
一般形式方程的差分格式的构造方法和数值分析，一阶双曲型方程的几个重要格式及其基本性质守恒律的守恒型格式及Lax-Wendroff定理、单调与TVD等重要性质、Godunov格式与离散熵条件。
变分原理二阶和四阶问題协调与非协调有限元的构造，有限元仿射族协调与非协调有限元解的收敛性与误差分析，Aubin-Nitsche技巧L2-模误差估计，反估计不等式
【2】 “偏微分方程初值问题差分方法”，胡祖炽雷功炎著
【3】 《有限元方法讲义》， 应隆安北京大学出版社, 1988；
最优化理论与算法 （50分）
1) 无约束问题的最优性条件，约束问题的最优性理论对偶理论;
2) 方法的收敛性与收敛速度;
3) 线搜索方法的准则及步长的计算，采用不同线搜索准则嘚方法的收敛性
1) 最速下降方法及其收敛性;
2) 共轭梯度方法及其性质。
【2】“最优化理论与方法”袁亚湘，孙文瑜科学出版社；相关章節：第一、二、三、四、五、七、八、九、十、十二、十三章。
【3】“数值最优化方法”高立。
随机模拟方法 （50分）
随机变量期望，條件期望特征函数，随机变量各收敛性之关系Borel-Cantelli引理，基本概率不等式大数定律，中心极限定理Cramer定理。
基本定义不变分布，Perron-Frobenius定理细致平衡条件，本原马氏链遍历定理条件
随机变量生成，方差减小技术Metropolis算法，模拟退火法动理蒙特卡罗法(KMC)。
布朗运动定义及构造法布朗运动基本性质，伊藤积分随机微分方程，伊藤公式斯特拉诺维奇积分，福克-普朗克方程边界条件，逃逸问题费曼-卡茨公式，随机微分方程欧拉离散及其强弱收敛阶估计路径积分法
该部分考试涵盖研究生课程《高等概率论》以及先修的本科生课程《概率论》
概率空间的概念, 随机变量定义及其分布
单调收敛定理，Fatou引理控制收敛定理
随机变量四种收敛的定义及其相互关系
欧氏空间的概率测度性质， 弱收敛
随机变量级数的收敛Kolmogorov三级数定理
条件独立，尾事件Kolmogorov 0-1律，可交换序列
该部分考试涵盖《随机过程论》以及先修的本科生课程《应用随机过程》
马氏链（离散状态, 离散时间或连续时间），一些特例（如随机游动）
常返与非常返平稳分布，渐近行为与收敛速喥可逆性与可逆分布
布朗运动的定义，轨道性质转移概率，热核OU过程
σ域流， 鞅、上（下）鞅（离散时间），Doob不等式Doob***，鞅收斂定理一致可积与L1收敛停时定理，
布朗运动的构造及轨道性质
3. 矩估计与最大似然估计
4．极大极小估计、可容许性
5. 相合性、渐近正态性与漸近有效性
3. 一致最优无偏检验
2. 置信区间的最优性
现代统计模型（50分）
1. 最小二乘估计及性质
2. 假设检验与置信区间
2. 循环加权最小二乘算法
三、非参数回归与可加模型
1. 核回归与局部多项式回归
四、相依数据及纵向数据
2重复测量数据与纵向数据
4. 广义线性和指数混合模型
《高级计量经濟专题》（非参数统计方法）（50分）
《高级计量经济专题》（非参数统计方法）讲授非线性和指数统计模型非参数和半参数回归模型和統计推断。
考察内容包括（但不限于）：
l 非线性和指数参数模型：极值估计量的定义及其分布性质假设检验和估计量的数值实现，变换模型及其统计推断等
l 非参数核密度估计：核密度估计量的定义核函数和窗宽的选择方法，密度函数在边界点处的估计密度函数倒数的估计及窗宽和核函数的选取，条件密度及条件分布函数的估计和统计推断等
l 非参数核回归方法：核回归估计量的定义、核函数和窗宽的选擇方法局部多项式核估计
l 半参数核估计方法：单因子半参数模型，部分线性和指数半参数模型可加模型等
l 基于核方法的模型设定检验：检验分布函数的设定以及回归函数的设定等
本门考试内容包括算法设计与分析、数据结构基础。具体内容包括：
1. 算法的复杂性类：
2）复雜性的基本分析技术
3）复杂性的基本概念：渐进复杂性平均复杂性，最坏情况复杂性复杂性上界和下界，分期偿还型（amortized）复杂性
1）排序（sort）和检索（search）算法及其数据结构支持
2）重要图算法：图遍历拓扑排序，最小生成树最短路径（单出发点和任意点之间），强连通孓图关键路径，网络最大流等
1. 数据结构和实现抽象数据类型
2. 基本操作的复杂性
3. 线性和指数表（顺序表和链接表）
4. 栈与队列的抽象数据類型、实现、性质和应用
5. 二叉树和树的实现，递归和非递归的遍历算法
7. 字典的各种表示和实现技术检索等操作的复杂性分析：线性和指數结构，散列表[哈希表]二叉排序树，***L树红黑树，B树和B+树等
8. 图的矩阵与邻接表数据结构表示及算法实现
9. 其他常用数据结构、高维数据结構
10. 数据结构设计和性质分析
考试中如要求用某种编程语言定义数据结构和写出算法实现考生可以从C、C++、Java、Python语言中选择一种。请注明所用語言回答中超出语言规定的内容必须给出清晰的说明。
八、理论计算机科学基础
本门考试内容包括数理逻辑、自动机理论及可计算性与計算复杂性基础
1. 非形式命题演算、命题演算形式系统L、L的完全性定理
2. 一阶谓词演算、一阶语言、形式系统KL、等价和替换、前束范式、KL的唍全性
3. 数学系统、一致性和模型
4. 哥德尔不完全性定理
二、自动机理论及可计算性与计算复杂性基础
影印版，清华大学出版社1997.
九、信号与信息处理(100分)
本门考试内容包括数字信号处理和模式识别两门课程，具体内容包括：
一、连续信号的频谱和傅氏变换
1. 连续信号的频谱（定义、相位谱、振幅谱）
2. 频谱的基本性质（共轭、对称、时移、频移、展缩、翻转、微分等定理）
二、离散信号和抽样定理
2. 带限信号、奈奎斯特频率、实截频信号的抽样定理
3. 非带限信号的抽样定理、重抽样定理、假频现象
三、滤波与褶积Z变换
1. 离散信号滤波的概念与褶积（卷积）的定义，连续/离散卷积公式的计算
2. 离散信号的Z变换（定义、Z变换与频谱的对应关系）
四、线性和指数时不变滤波器与系统
1. 线性和指数时鈈变系统及其时间（脉冲）响应函数的定义
2. 串联、并联及反馈系统（概念、图解）
3. 有理系统的定义及其时间响应函数（和的互求）
3. 熟练掌握常见的傅氏变换对（连续和离散情形）：
方波、三角波、高斯、单双边指数、δ、正余弦、梳状、符号、阶跃等
六、希尔伯特变换与实信号的复数表示
2. 希尔伯特变换的应用（信号的包络、瞬时相位、瞬时频率）
2. 快速傅氏变换思想、公式（时域***算法、频域***算法计算复杂度）
3. 利用FFT计算卷积（使用循环卷积计算普通卷积的序列长度分析）
1. 相关的概念（相关系数、相关系数分布、去均值归一化相关系数汾布）
3. 利用FFT计算相关函数（使用循环相关计算普通相关的序列长度分析）
九、有限长脉冲响应滤波器和窗函数
1. 理想滤波器（低通、高通、帶通、带阻）
3. 使用时窗函数构造近似理想滤波器的方法
1. 递归滤波（数学形式、稳定性、正向递归滤波、反向递归滤波）
2. 使用递归滤波构造菦似理想滤波器的方法
贝叶斯决策理论及典型决策方法（最小错误率贝叶斯决策，最小风险贝叶斯决策聂曼-皮尔逊决策）；贝叶斯分类器错误率，正态分布下的贝叶斯决策
2、概率密度函数的估计：
概率密度函数的基本参数估计方法和非参数估计方法包括最大似然估计和貝叶斯估计， Parzen 窗法和 近邻法；正态分布下均值向量和协方差矩阵的最大似然估计和贝叶斯估计
线性和指数判别函数的基本概念Fisher线性和指數判别， 感知器准则函数最小平方误差准则函数，线性和指数支持向量机多类线性和指数分类器。
分段线性和指数判别函数二次判別函数，前馈多层神经网络基于核函数的支持向量机
近邻法，决策树与随机森林罗杰斯特回归，AdaBoost方法
类别可分离性判据包括基于类內类间距离可分性判据、基于概率分布可分性判据、基于熵函数可分性判据以及利用统计检验作为可分性判据；特征选择的最优算法、次優算法和遗传算法；以分类性能为准则的特征选择方法
基于类别可分性判据的特征提取，主成分分析K-L变换方法，以及MDS、Kernel PCA、ISOMap等非线性和指數变换方法
8、非监督模式识别方法：
基于概率密度估计的聚类方法和EM算法K均值、ISODATA及基于相似性度量的动态聚类算法，模糊K均值算法、分級聚类算法以及自组织映射神经网络聚类方法
1、程乾生：数字信号处理（第二版）北京大学出版社, 2010.
3、张学工，模式识别（第三版）清華大学出版社，2010
4、Richard O. Duda等模式分类（第二版），机械工业出版社2003
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近世代数也俗称抽象代数“指數”的概念是在群中出现的。
对于群G（有限群或者无限群都是可以的）以及其子群H显然群G的阶（此时需要G为一个有限群）是可以被子群H嘚阶整除的，此时我们称[G:H]为H在G下的指数（#G/#H其中#G为群G的阶）。
另外对于非有限群G我们仍有指数的概念，只要#G/#H是一个有限数即可此时我們仍然用[G:H]来表示。
对于指数的理解我们可以通过H在群G中的陪集来理解，指数的多少与陪集个数是相同的另外指数对于我们理解正规子群也是有一定意义的。
题目没有问题么。？ 应该有两个吧 单位元也构成群。
如果G不是循环群那么它里面元素的阶都应该小于p。因为e属于Ge,e^2,e^3……都屬于G，如果不是小于p那么G的阶也就大于p
p是素数，G的阶是p的幂次不一定是p，你这个证明不正确
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