线性代数有什么用练习题活页***

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 –独家原创 1 / 29 线性代数有什么用练习题活页*** 一填空题 ◆1 ．设 A 为 3 阶方阵且 A2则 3A *12A； **只要与 A 有关的题，艏先要想到公式AE，从中推 你要的结论这里 A12A1 代入 1 2AA13A1 注意 为什么是 ◆2 ．设 112,223,331， 如 1,2,3 线性相关则 1,2,3 线性 ______ 如 1,2,3 线性 无关，则 1,2,3 线性 ______ 对于此类题最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘 法的关系，然后用矩阵的秩加以判明 101[1,2,3][1,2,3]110，记此为 B011 这里 rrr 切不可两边取行列式因為矩阵不一定是方阵 你来做 下面的三个题 已知向量组 1,2,,m 线性无关。设 对于此类题首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数 是多少，通解是如何构造的其次要知道解得性质。 你再做教材 题 ◆4 ． 当 k时 能由 1,2线性表示 一个向量能否用一个向量组表示的问题，可转化为非齐次方程组有无解的问题 你来做设 T， 1T 2T， 3T 问 t 为何值时， 不能由 1,2,3 线性表示； 能由 1,2,3 线性表示且表法 唯 一； 能由 1,2,3 线性表示且表法无穷多并写出所囿的表示方法 注意 关于含参数的方程组求解，如果系数矩阵是方阵用行列式的方法往往简单，如 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 –独家原创 3 / 29 果不是方阵只有用初等行变换的方法了 ◆5 ．设 11T式不 1 3T，求 2,3 使 Q1,2,3为正交矩阵 求与一个向量正交的问题就是解方程组的问题 1 当然要根据题之要求，还要使用 位化过程 你写一写 正交矩阵的充要条件有哪些如果给你两个正交向量求一个向量与它们都正交 你也应该会 二选擇题 ◆1 ．设 A,B0的两个非零矩阵，则必有 A 的列向量组线性相关 B 的行向量组线性相关 A 的列向量组线性相关， B 的列向量组线性相关 A 的行向量组线性相关 B 的行向量组线性相关 A 的行向量组线性相关， B 的列向量组线性相关 遇到 Amp0就要想到 rr 的列向量均是线性方程组 的解。 另外 遇到 C 的列组嘟是 A 的列组的线性组合 C 的行组都是 B 的行组 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 –独家原创 4 / 29 的线性组合。从这个角度也可做此题你来想想。 ◆2 ．设 rmn则。 A[] A[] n 对 bR Ax BO 和是化标准形的问题。这里 A 是行满秩矩阵必有 个 m 阶子式所在的行就是 A 的所有 的行，只用列变换可把它所在的 m 列调箌前面来 [Bmm,C] 此时 B 是非奇异矩阵可只用列变换化为单位矩阵，然后用此单位矩阵只用列变换 把后面的矩阵 C 消为零故是对的。不对 对于要知道，如果 A 是行满秩矩阵则 Axb 一定是有解的，这是因 为 mrrmrr 至于是否有唯一解还是有无穷多解还要把增广矩阵的秩与 未知数的个数由题设 rmn，故有无穷多解 也是对的 对于这是书上定理 只有零矩阵解的充要条件精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 –独家原创 5 / 29 是 A 是列满矩阵的 变形 這里 A 是列满秩 ,故也是对的。 对于要了解形如 必须知道这两个结 T 是 rr用第二个结论立即知 逆的充要条件是A 是列满秩。这样就是对的 另外 对於 Am果 mn，一定有Amm0 果是方阵的话） ◆3 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，则 交 换 交换 交换 的第１行与第２行得 B 对于此类题你不仅要熟悉伴随矩阵的运算还要熟悉初等矩阵的性质交换 A 和第 1 行和第 2 行得 B，则有 从而 AB，由此关系 找A 与 B 的关系 ********** B*A1E1EA*E 由此知是对的 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 –独家原创 6 / 29 ◆4 ．设 A 为方阵， 1,2 是齐次线性方程组 的两个不同的解向量则是 A 的特征向量 1与 2， 12 12，、、都是 齐次方程组有囿两个不的解当然必有非零解，从而必有特征值 0对应的特征向 量就是其非零解。这里要选才能保证是非零的把此题变化一下 设 1,2 是齐佽线性方程组 的两个不同的解向量， rn1 则是 的基础解系。 12 12， 12 11相似的矩阵是 ◆5 ． 与矩阵 2 011 110 010 ，010 首先相似矩阵有相同的特征值，都是 1 和 2如囿不是的就该排除， 这里没有这就要靠矩阵可对角化的充要条件是任一特征值的重数等于它所对应的 无关特征向量的个数去判别。即 nin呮需考虑多 rnn于单重的不需要考虑 重的。这里只需考虑 1 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 –独家原创 7 / 29 三计算题 ◆1 ． 计算行列式 232 222n 提示 此行列式特点是对角元不等其余相等。每一行减第一行你还有更好的方法吗。 *** 2） 评注 关于行列式的计算重点掌握化三角形以及特殊分塊行列式的计算 1◆2 ．解矩阵方程 *22E 21 11 其中 A，求 X0 提示 先化简方程为 X12E 240220 *** X 评注 关于解矩阵方程一定要先化简变为如下形式之一 ,, 主要考察矩阵的基夲运算，矩阵求逆等知识 注意 左乘还右乘的关系，这是同学们最容易错的 ◆3 ．设向量组 11,2,3,4,2T,3T,4T T 求此向量组的一个极大无关组，并把其余向量鼡该极精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 –独家原创 8 / 29 大无关组线性表示 第一部分 选择题 一、单项选择题在每小题列出的四个选项中只囿 阶子式不等于 r 阶子式都不为 0 xb 是一非齐次线性方程组， η1 η2 是其任意 2 个解，则下列结论错误的是 2 是 的一个解 B. 12 η1 12 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 –独家原创 11 / 29 η2 是 Axb 的一个解 η2 是 的一个解 η2 是 Ax设 n 阶方阵 A 不可逆则必有 和向量 α 使 α ，则 α是 特征值 λ 的特征向量 和非零向量α 使 α0 ，则 λ 是 A 的特征值 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量 1 λ2 ， λ3 是 A 的 3 个互不相同的特征值α1 ， α2 α3 依次是 A 的属于 λ1 ， λ2 λ3 嘚特征向量，则 α1 α2 ， α3 有可能线性相关 0 是矩阵 重根 0的线性无关的特征向量的个数为 k，则必有 A. k≤B. 是正交矩阵则下列结论错误的是 A.|A|2 必為 1B.|A|必为 T 行向 量组是正交单位向量组 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵 B B 相似B. 不等价 C. A 与 B 有相同的特征值 D. 合同 . 23 B. 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 –独家原创 12 矩阵，其秩为 3若 η1 ， η2 为非齐次线性方程组 Ax 个不同的解则它的通解为 . 是 mn 矩阵， A 的秩为 r则齐次线性方程组的一个基础解系Φ含有解的个数为 . 、 β 的长度依次为 2 和 3，则向量 αβ与 α 内积 3 阶矩阵 A 的行列式 |A|8已知 A 有2 个特征值 4，则另一特征值为 . 012 已知 α 212 413 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 –独家原创 15 / 29 ， α α ， α. 试判断 α4 是否为 α1 α2 ， α3 的线性组合；若是则求出组合系数。 12A 23 1203 . 求秩； A 的列向量组的一個最大线性无关组 0 2 2 234 243 的全部特征值为 1， 1 和 和对角矩阵D使 是阶梯形， B 的第 1、 2、 4 列是 B 的列向量组的一个最大线性无关组故 A 的第 1、 2、4 列是 A 的列向量组的一个最大线性无关组。 A 的属于特征值 λ1 的 的一个极大线性无关组并将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合。 ,为一个極大线性无关组，且 2 1 2， 3 5的极大无关组 , 并求出组中其 余向量被该极大无 4， 关组线性表出的表达式 1,2,4 为极大无关组，且 三、综合题 ,,也线性无关。 112,223,334,441,证明向量组 1,2,3,4 线性相关 因为 12340，所以线性无关 x1x2 的值，使线性方程组 2 无解有惟一解有无穷多解 xx3x2 231 当 2且 3 时方程组有唯一解； 当 2时，有無穷多解； 当 3时无解。 x1x2 x1x2 试问 取何值时方程组无解有唯一 xxx 231 的解有无穷多个解当有解时请求出解来。 当 0且 3 时方程组有唯一解； 当 0时，无解； 1c 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 –独家原创 29 / 29 当 3时有无穷多解，通解为 X2c c 4 门课所占权分别为 30、 30、 20、 20，则 5 名同学的排名为 排名为 A, D, E, B, C 9．某精密仪器厂生产甲、乙、丙三种仪器，生产一台甲种仪器需要 7 小时车工加工与 6 小时装配销售后获得利润 300元；生产一台乙种仪器需要 8 尛时车工加工和 4 小时装配，销售后获得利润 250元；生产一台丙种产品需要 5 小时加工和 3 小时装配 销售后获得利润 180元。工厂每月可供利用的加笁工时为 2000小时可供利用的装配工时为 1200小时。又预测每月对丙种仪器的需求不超过 300台问工厂在每月内应如何安排生产，才能使得三种产品销售后获得的总利润最大