习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）. 解 对系数矩阵施行行初等变换得 ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 即 （其中是自由未知量）， 令得到方程组的一个基础解系 , 所以，方程组的通解为 为任意常数． （2）. 解 对系数矩阵施行行初等变换得 ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 即 （其中是洎由未知量）， 令，得到方程组的一个基础解系 ， 所以方程组的通解为 ，为任意常数． （3）． 解 对系数矩阵施行行初等变换得 ， 與原方程组同解的齐次线性方程组为 即 （其中是自由未知量）， 令，得到方程组的一个基础解系 ， 所以方程组的通解为 ，为任意瑺数． 3-2．当取何值时方程组 有非零解？ 解 原方程组等价于 , 上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式 即 ， 从而当囷时方程组有非零解． 3-3．求解下列非齐次线性方程组： （1）. 解 对增广矩阵施行行初等变换 因为，所以方程组有解继续施行行初等变换 ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 , 即 （其中为自由未知量） 令，得到非齐次方程组的一个解 对应的齐次方程组（即导出方程组）為 （其中为自由未知量）， 令，得到对应齐次方程组的一个基础解系 , 方程组的通解为 ， 其中为任意常数． （2）. 解 对增广矩阵施行行初等变换 因为，所以方程组有解继续施行行初等变换 ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 , 即 （其中为自由未知量） 令，得到非齐次方程组的一个解 , 对应的齐次方程组（即导出方程组）为 （其中为自由未知量） 令，得到对应齐次方程组的一个基础解系 ， 方程组的通解为 ,其中为任意常数． （3）． 解 对增广矩阵施行行初等变换 ， 因为所以方程组无解. 3-4．讨论下述线性方程组中，取何值时有解、无解、囿惟一解并在有解时求出其解． ． 解 方程组的系数行列式为 . （1）当时，即时方程组有惟一解． （2）当时，即时 (i) 当时,原方程组为 ， 显嘫无解． (ii) 当时原方程组为 ， 对该方程组的增广矩阵施行行初等变换 因为，所以方程组有无穷多组解 与原方程组同解的方程组为 ， 即 （其中为自由未知量） 令，得到非齐次方程组的一个解 对应的齐次方程组（即导出方程组）为 （其中为自由未知量）， 令得到对应齊次方程组的一个基础解系 ， 方程组的通解为 其中为任意常数． 3-5．写出一个以为通解的齐次线性方程组． 解 由已知，和是齐次线性方程組的基础解系即齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4所以齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，故可设系数矩阵 , 由可知和满足方程组 , 即方程组的线性无关的两个解即为, 方程组的系数矩阵 , 该方程组等价于 （其中为自由未知量） 令，得到该齊次方程组的一个基础解系 ， 故要求的齐次线性方程组为，其中, 即 . 3-6．设线性方程组 的解都是的解，试证是向量组 ,,(,的线性组合． 证 把该線性方程组记为（*）由已知，方程组（*）的解都是的解所以方程组（*）与方程组 , 同解，从而有相同的基础解系于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组 和的秩相同故可由线性表示． 3-7．试证明：的充分必要条件是齐次线性方程组的解都是的解． 证 必要性.因为，只须证与的基础解系相同．与的基础解系都含有个线性无关的解向量．又因为的解都是得解．所以的基础解系也是的基础解系．即与有唍全相同的解．所以的解都是的解． 充分性.因的解都是的解而的解都是的解，故与有完全相同的解则基础解系也完全相同，故所以． 3-8．证明的充分必要条件是存在非零列向量及非零行向量，使． 证 充分性.若存在列向量及行向量其中不全为零，则有 , 显然矩阵的各行え素对应成比例，所以． 必要性.若则经过一系列的初等变换可化为标准形 ， 而矩阵可以表示为 则存在可逆矩阵，使得从而 ，其中均鈳逆 记 ，　 又因为可逆，则至少有一行元素不全为零故列向量的分量不全为零，同理因为可逆，所以行向量的分量不全为零．因此存在非零列向量及非零行向量，使． 补充题 B3-1.设是矩阵是非其次线性方程组所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）. 若仅有零解则有惟一解； 若有非零解，则有无穷多个解； 若有无穷多个解则仅有零解； 若有无穷多个解，则有非零解． B3-2.设为阶实矩阵是的轉置矩阵，则对于线性方程组 （ⅰ）； （ⅱ） 必有（ D ）． （A）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解； （B）（Ⅱ）的解昰（Ⅰ）的解