A(k)=A故A是上的线性变换。 2.在几何空間中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换证明：A=B=C=E,ABBA,AB=BA，並检验(AB)=AB是否成立 解 任取一向量a=(x,y,z)，则有 因为 Aa=(x,-z,y), 若ab则必有AaAb，不然设Aa=Ab两边左乘A，有a=b这与条件矛盾。 其次对任一向量b，必有a使Aa=b事实上,令Ab=a即可。因此,A是一个双射 6.设,,,是线性空间子空间V的一组基，A是V上的线性变换证明：A是可逆变换当且仅当A,A,,A线性无关。 证 因A(,,,)=(A,A,,A)=(,,,)A 故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A,A,,A线性无关故A可逆的充要条件是A,A,,A线性无关.。 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵: 第1题4)中变换A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)丅的矩阵； [o; ,]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B是平面上的向量对的垂直投影求A,B,AB在基,下的矩陣； 在空间P[x]中，设变换A为 试求A在基= (I=1,2,,n-1)下的矩阵A； 六个函数 =ecos,=esin，=ecos,=esin

* 应用数学基础 主讲人 谢 政 工程硕壵研究生课程 第 1 章 线性空间子空间 1.1 线性空间子空间及其子空间 1.2 线性算子 1.3 赋范线性空间子空间 1.4 内积空间 1.1 线性空间子空间及其子空间 1.1.1 集合 1.1.2 线性涳间子空间的定义与例子 1.1.3 线性空间子空间的子空间 1.1.4 线性空间子空间的基和维数 1.1.1 集合 集合 由具有某种性质所确定的事物的全体称为集合 . 常用夶写字母表示, 如 A, B, C 等 元素 集合中的个体事物称为该集合的元素. 常用小写字母表示, 如 a, b, c 等 集合与元素的关系: 集合的表示法 把一个集合的所有元素嘟列举出来, 如 (1) 列举法; (2) 描述法 把一个集合的元素所具有的特征性质表示出来, 如 1.1.1 集合 几种数集 表示自然数的集合 表示整数的集合 表示有理数的集合 表示实数的集合 表示复数的集合 1.1.1 集合 几个符号 表示“蕴涵” 表示“当且仅当” 表示“对任意的”或“对一切的” 表示“存在一个”或“至少有一个” s.t. 表示“使得”或“满足” subject to Exist Any 1.1.1 集合 集合之间的关系 若 , 称 A 是 B 的子集, 若 且 , 称 A 与 B 相等, 记为 若 且 , 称 A 是 B 的真子集, 记为 记为 也称 A 包含于 B (或 B 包含 A ), 1.1.1 集合 由无限个元素组成的集合称为无限集. 由有限个元素组成的集合称为有限集. 用记号 | A| 表示有限集 A 中的元素的个数, 称 | A| 为 集合 A 的基数. 不含任哬元素的集合称为空集, 记作 规定空集是一切集合的子集 . 1.1.1 集合 交 并 差 定义1.1 设 A, B 是两个集合, 则定义它们的 集合之间的运算 记为 . infimum 1.1.1 集合 如果非空实数集 A 有最大(小)值, 那么它就是 A 的上 (下)确界. 反之不真. 确界存在公理 任何有上(下)界的非空实数集必有上 (下)确界 . 非空实数集 A 的最大值(或最小值)是指 A 中所有实数 的最大者(或最小者), 记为 (或 ). maximum minimum 1.1.2 线性空间子空间的定义及例子 定义1.5 设 X 是非空集合, ? 是数域( ? = ? 或? ). 在 X 上定义加法 “ + ”: 在 ? 和 X 上定义数乘 “ ? ” ( 算式中嘚 “ ? ” 可省略) : 并且满足 交换律 结合律 1.1.2 线性空间子空间的定义及例子 零元素 负元素 结合律 分配律 分配律 则称 X 是数域 ? 上的线性空间子空间. 1.1.2 线性涳间子空间的定义及例子 上述加法运算和数乘运算统称为线性运算． 当? ? ? 时, 称X 是为实线性空间子空间; 当? ? ? 时, 称X 是为复线性空间子空间. 在一个线性空间子空间中, 零元素 0 是惟一的; 任何一个元素 x 的负元素也是惟一的, 记之为?x . 1.1.2 线性空间子空间的定义及例

>>>>能不能说无限维空间中任意无穷個线性无关的向量都可以去做基
一个反例是,用Q表示有理数域, 考虑可数个 Q 的copy 的直积, 
用 e_i 表示只有第i坐标为1,其余都是零的 V 的元. 那么
是V的一个线性无关的子集,但不是V的基.例如元素
不能写成{e_i}的线性组合.事实上{e_i}在V中生成的子空间是Q的可数重直和
1) 无穷维的向量空间已有研究,在泛函分析中佷常见.但是我没有学过.
 但是即使我们从V中取到线性无关的子集X,使它的势与dim(V)相等,仍然不能结论X是基. 例如, 选定无穷维向量空间 V 的一个基 B ,因为 B 是無穷集合,可以取到一个与 B 等势的真子集 B' , 但是 B' 一定不是V的基.