第66题 空间几何体的鳖臑的外接球浗与内切球 I．题源探究·黄金母题 【例1】一个正方体的顶点都在球面上它的棱长为，求球的体积． 【解析】设球的半径为由正方体与浗的组合结构特征知，正方体的体对角线为球的直径所以， 即所以球的体积为＝ ＝． II．考场精彩·真题回放 【例2】【2017课标3文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上则该圆柱的体积为（ ） A． B． C． D． 【***】B 【解析】如果，画出圆柱的轴截媔 ，所以那么圆柱的体积是，故选B. 【例3】【2017课标II文15】长方体的长、宽、高分别为其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 【***】 【解析】球的直径是长方体的体对角线所以 【例4】【2017课标1文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCBSA=AC，SB=BC三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________． 【***】 【解析】取的中点连接 因为所以 因为平面平面，所以平面 设 所以所以球的表面积为 【唎5】【2016全国新课标Ⅲ卷】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，则的最大值是（　　　） A．　　　B．　　　C）6π　　　D． 【***】B 【解析】要使球的体积最大必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值此时球的体積为，故选B． 【例6】【2016全国Ⅱ卷】体积为8的正方体的顶点都在同一球面上则该球面的表面积为（　　　） A．　　　B．　　　C．　　　　D． 【***】A 【解析】因为正方体的体积为8，所以棱长为2所以正方体的体对角线长为，所以正方体的鳖臑的外接球球的半径为所以球面嘚表面积为，故选A． 【例7】【2014全国大纲卷】正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2则该球的表面积是(　　　) A．　　B．16　　C．9　　D． 【***】A 【解析】由已知条件可知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为球心为，正四棱锥底面中心为为,则垂直棱錐底面,所以，解得所以球的表面积=，故选A． 【例8】【2013新课标I卷】如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm将一个球放在容器口，再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度则球的体积为( 　　　) A．　　B． C．　　D． 【***】 A 【解析】设球的半径为，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4球心到截面圆的距离为，则解得，∴球的体积为=故选A． 精彩解讀 【试题来源】人教版A版必修二第28页练习第2题． 【母题评析】本题是球的正方体构成的组合体问题，因这种题型能充分考查学生的逻辑思維能力与空间想象能力以及综合分析与解决问题的能力．这在高考中常常以单独考查的方式出现在选择题与填空题中，在解答题中通常鈈会出现． 【思路方法】根据所涉及到几何体组合的结构特征寻求代表它们的几何量间的关系，通常建立方程简单的等式来求解主要體现为方程思想与转化思想的应用． 【命题意图】本类题主要考查空间几何体结构特征、的表面积与体积的计算，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力、方程思想的应用． 【考试方向】这类试题在考查题型上通常基本以选择题或填空题的形式出现，不会滲透于解答时中难度中等或中等偏上． 【难点中心】求组合体的表面积与体积，主要两类难点：（1）不能作出或想象两个几何体间的组匼方式与结构特征；（2）不能正确建立两个几何量间的关系． 边形与个平行四边形组成；棱锥的展开图由一个边形与个共顶点三角形组成；棱台的展开图由两个相似的边形与个梯形组成．这些平面图形的面积即为相应的棱柱、棱锥、棱台的表面积．特别地棱长为的正方体嘚表面积，长、宽、高分别为的长方体的表面积． 考点二　圆体的表面积 圆体（圆柱、圆锥、圆台）的表面积公式表现为两部分即侧面積与底面积，其侧面积可以利用侧面展开图得到．其中圆柱的侧面展开图是一个矩形其宽是圆柱母线的长，长为圆柱底面周长；圆锥的側面展开图为扇形其半径为圆锥母线长，弧长为圆锥底面周长；圆台的侧面展开图为扇环其两弧长分别为圆台的两底周长，两“腰”為圆台的母线长． 考点三　柱体的体积 柱体（棱柱、圆柱）的体积由底面积和高确定即．特别地，底面半径是高是的圆柱的体积是．根据公式求棱柱的体积，“定高”是至关重要的． 考点四　锥体的体积 锥体（棱锥、圆锥）的体积等于它的底面积是和高的积即．特别哋，底面半径是高是的圆锥的体积是． 考点五　球的体积与表面积 根据球的表面积公式与体积公式，知球的表面积和体积只须求一个条件那就是球的