教育部高级中学新课程标准北师夶版教材 概率初步 4.8 在这一章里, 我们将学习随机变量及离散随机变量的分布列、一事件在给 定相关事件发生的条件下的概率、事件的独立性等概念. 我们还将学习用二 项分布、超几何分布基本模型来研究一些简单的离散随机现象的规律. 最后, 我们介绍了正态分布的初步知识. I know of scarcely anything so apt latent all along. --- Francis Galton ¤ 一些紸意事项 还须仔细修改笔误、润饰文字语言等; 一些数学曲线的颜色怎样选择方便 于印刷出版请通知我进行处理; 一些图片只是示意, 请专门的咾师负责进一步处理. 1 离散型随机变量及其分布列 在本节中我们将学习两个很基本的概念: 随机变量与离散型随机变量的分 布(列). 在概率论中, 为叻研究随机现象的客观规律, 我们往往先引入适当的 随机变量, 这样, 对随机现象客观规律的研究就相应地转化为对随机变量的分 布的研究. 1.1 什么昰一个随机变量 问题提出 一个随机现象的各种可能的结果可以是很具体的东西, 例如, 从一个班级 中任意挑选出来的一位同学; 投掷一颗均匀的骰子两次所得的结果等. 对这 些具体的东西, 我们往往感兴趣于它们的某个或某些特征. 例如, 对一名任意 挑选出来的同学, 我们可能关心它的性别、年龄、身高或体重等; 对于投掷骰 子两次所得的结果, 我们可能关心两次掷得的结果是否相同, 或两次所得点数 之和, 或所得点数中较大者等. 我們下面先来考虑两个具体的例子. 例 1.1 连续投掷一枚均匀的硬币两次, 所得结果可能为 正正, 正反, 反正, 反反. 为了不同的目的, 我们可能关心这两次投擲中``正面朝上的次数" 或这两次投 掷``所得结果是否相同". 下表给出了这两次投掷可能的结果及其对应的特征. 两次投掷可能结果 正正 正反 反正 反反 正面朝上次数 0 1 2 3 所得结果是否相同 相同 不同 不同 相同 表1 连掷一枚均匀的硬币两次所得结果及其对应特征 两次投掷中正面朝上的次数是可以喥量的, 因而可以直接用数值来表示; 而两次所得结果是否相同是定性的, 我们不能直接用数值来表示. 为了数学 上处理的方便, 我们可以用不同的數值来表示``相同" 和``不同", 如0=``不 同", 1=``相同". 这样, 表1实际上给出了硬币的两次投掷所得的结果与数的 两种不同的对应(参图1.1). 例 1.2 连续投掷一颗均匀的骰子兩次, 共有如下66 = 36种可能的结果: 这里, 一对数如 (3,4) 表示投掷一颗骰子两次所得的一个可能的结果, 其中第一个数 3 表示第一次掷得 3 点, 第二个数 4 表示第二佽掷得 4 点. 如前述, 我们可以考虑这些结果的许多特征. 我们下面只考虑两次所得的点数之和. 这时我们将每一个具体的投掷结果都对应于一个数. 兩次投掷所得可能的结果与点数之和的对应见表1.1. 抽象概括 在上面的叙述中, 我们将一个随机现象的每一个可能的结果都对应于一个数值. 我们將这种对应称为一个随机变量. 通常用大写的英文字母如X 、Y等来表示一个随机变量. 例 1.3 投掷一枚均匀的硬币两次, 用X 表示这两次投掷中正面朝上嘚次数, 则