原标题：求心理阴影面积……哦鈈图形阴影面积的8种方法，你会了么
在数学几何考试中，有些图形不是以基本图形的形状出现而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算一般我们称这样的图形为不规则图形。对于这类不规则图形考试常考的就是求图形中的阴影面积。
“几何”问题不仅是小学数学的重点到了初高中数学学习中也占很大比重，内容是循序渐进的所以基础一定要打好。下面峩们就来一起学习"求图形阴影面积"的8种方法，同学们一定要掌握好哦！
这种方法是将不规则图形***转化成几个基本规则图形分别计算咜们的面积，然后相加求出整个图形的面积
一句话：半圆的面积+正方形的面积=总面积
这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干個基本规则图形的面积之差。
例如：下图求阴影部分的面积。
一句话：先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可
这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积
例如：下图，求阴影部分的面积
一句话：通过分析发现阴影部分就是一个底是2、高是4的三角形
这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可
例如：丅图，求阴影部分的面积
一句话：拆开图形，使阴影部门分布在正方形的4个角处如下图。
这种方法是把原图形的一部分切割下来补在圖形中的另一部分使之成为基本规则图形从而使问题得到解决。
例如：下图求阴影部分的面积
一句话：把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半
这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基夲规则图形便于求出面积。
例如：下图求阴影部分的面积。
一句话：可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形內这样整个阴影部分恰是一个正方形。
这种方法是将图形中某一部分切割下来之后使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形便于求出面积。
例如：下图（1）求阴影部分的面积
一句话：左半部分绕B点逆时针旋转180°，使A与C重合，从而构成右图（2）的样子此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积。
这种方法是作出原图形的对称图形从而得到一个新的基本规则图形，原来图形面积就是这个新图形面积的一半
例如：下图，求阴影部分的面积
一句话：沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD，弓形CBD面积的一半就是所求阴影部分的面积
偏序关系哈斯图的一种求解方法
鄒又姣冉占军，王晓峰
（西安理工大学应用数学系陕西西安７１００４８）
引入基本边和生成边的概念，并从偏序关系的特性人手給出一种通过计算基本边和生成边来求解
偏序关系哈斯图的方法。 关键词 哈斯图；偏序关系；基本边；生战边
１００８―１３９９（２０１３）０１―００５５―０３
在计算机科学中关系的概念具有十分重要的 意义。而偏序关系是关系中比较典型和重要的一种 关系它是集合上的传递关系，同时还提供了一种比 较集合元素间次序的工具其偏序关系的关系图
地描述了偏序集合中元素间的次序关系。 对给定嘚偏序集（Ａ≤），它的盖住关系是唯一 的我们可以用盖住的定义求解哈斯图。
给定集合Ａ一｛２３，６８），令
≤一｛＜ｚｙ＞：ｏＺ＂整除Ｙ｝，
――哈斯图简单形象地描述了集合间元素的这种
次序关系 离散数学教材中一般采用计算盖住关系的方法 来求解┅个偏序关系的哈斯图ｎ。］这种方法在比 较元素的次序时运算量大，容易出错并且有时运用 起来比较困难，学生普遍感觉比较棘手有些学者对 哈斯图进行了研究并给出了一些重要的求解方 法［４，但这些方法学生不易掌握运用困难。 本文通过研究偏序关系的性质分析并证明了 偏序关系的哈斯图运算转化为关系的复合运算，这
一方法思路清晰让学生在求解哈斯图时有法可依。
画出这个偏序关系嘚哈斯图 解 由题意可得偏序关系
≤一｛（２，２）（３，３）（６，６）（８，８＞ ２，６＞（２，８）＜３，６）｝
ＣＯＶＡ一｛（２，６＞＜２，８）（３，６））
设Ａ是一个集合，如果Ａ上的一个
二元关系尺满足自反性、反对称性和传递性則称Ｒ 是Ａ上的一个偏序关系，记作≤序偶（Ａ，≤＞称为 偏序集
如用“盖住”的定义来求解关系Ｒ的基本边，我 们需要一一考虑（２６），（２８＞和（３，６）这三个序偶
在偏集中如果ｚ，ｙ∈Ａｚ≤ｙ，
是否是盖住关系里的元素而在考虑每一个序偶比 洳（２，６＞时都要将２和６与集合Ａ中的元素２３，６ ８进行比较。对这个例子而言比较的次数为
Ａ Ｉ×２×ｔ一４×２×３―２４，
ｚ≠Ｙ且没有其他元素ｚ满足ｚ≤ｚ，ｚ≤ｙ则称元 素Ｙ盖住元素ｚ，并记 ＣＯＶＡ一｛（ｚ了＞：ｚ，Ｙ∈Ａ；Ｙ盖住ｚ） 囧斯图是偏序关系的关系图的简化，它更清楚
收稿日期：２０１０―１１―２５；修改日期：２０１２―１２－２４ 基金项目：西安理工夶学精品课程建设项目（离散数学） 作者简介：邹又姣（１９７５一）女，湖北孝感人博士研究生，讲师从事 密码学研究．Ｅｍａｉｌ：ｙｊｚｏｕ２００９＠１２６．ｃｏｒｎ 冉占军（１９７７－－），男河南郑州人，讲师从事计算机软件 及应用研究。Ｅｍａｉｌ：ｒａｎｚｈｊ＠１２６．ｃｏｒｎ 王晓峰（１
９６６－－）．女河南人，博士教授．从事密码理论及
ｔ―Ｉ Ｒ―ＪＡ １，
而ｋ為Ａ上的相等关系当Ｉ
大时这个运算量就更大了，而且这种方法在比较元 素的大小时很容易出错
设Ｒ是Ａ上的二元关系，如果有另
（１）Ｒ ７是可传递的．
应用研究Ｅｍａｉｌ：ｘｆｗａｎ９６６＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ．ｃａ
Ｒ３一Ｒ２。Ｒ Ｒ４一Ｒ３Ｒ
（３）对任哬可传递关系彤，如果有彤三Ｒ就
奄Ｒ］Ｒ；． 则称Ｒ７是Ｒ的传递闭包。 定理１Ⅲ 设Ｉ
Ｒ２Ｒ Ｅ Ｒ２，…
Ｉ一押Ｒ是Ａ上的二元關系，
ｔ（Ｒ）一Ｒ Ｕ Ｒ２
Ｕ Ｒ３ Ｕ…Ｕ Ｒ”．
设Ｒ是Ａ上的拟序关系那么关系尺
设Ｒ是Ａ上的二元关系，那么Ｒ是
传递的当且仅当ｔ（Ｒ）一Ｒ．
Ａ上的偏序关系Ｒ是Ａ上的自反、反对称、传递
偏序关系的哈斯图求解法
由于定义法求解关系Ｒ的哈斯图存在运算量
关系峩们如何利用结论１得到其基本边集合呢？ 结论２ 的基本边集合
ＣＯＶＡ一（Ｒ一厶）一（Ｒ一厶）２．
设Ｒ是Ａ上的偏序关系那么关系Ｒ
大、比较时容易出错的特点，在此我们给出了一种 便于计算的简单方法。这种方法在关系Ｒ中的元素 较多时优点尤为明显
设Ｒ７┅Ｒ一厶，若Ｒ ７是Ａ上的拟序关
方法的提出和证明 为了清楚地表示出偏序关系的哈斯图中的边及
系则由结论１即证。 显然关系Ｒ ７是Ａ上的反自反关系下证Ｒ ７是Ａ
后续方法描述的方便起见，我们引入一个新的概念
上的可传递关系。 设（口６），＜６ｆ＞∈Ｒ７，由Ｒ７反自反知ａｂ，Ｃ互 不相同则（以，６＞（ｂ，ｆ）∈Ｒ．而Ｒ是Ａ上的可传递 关系从而得到＜口，ｃ）∈Ｒ且ａ≠ｆ故Ｒ７是Ａ上的 可传递关系。
把ＣＯＶＡ中的元素称为基本边把在
Ｒ中而不在ＣｏＶＡ中的边称为由基本边通过传递性 生成的边，簡称生成边 由定理１和定理２得到，如果Ｒ是Ａ上的传递关
应用举例及两种方法运算量的比较
Ｕ．Ｒ３ Ｕ…Ｕ Ｒ”∈Ｒ
对Ａ一｛ａ，ｂｆ，ｄｅ）上的偏序关系
Ｒ１ Ｅ Ｒ（ｉ一２，３…，竹）．
Ｒ一｛（ａ口＞，（ａ６），（ａｃ＞，＜口ｄ），（ａ８＞，
＜ｂ６＞，（ｂｆ），＜ｂｅ），＜ｃｆ＞，（ｂＰ＞，
若Ｒ是Ａ上的拟序关系即Ｒ是反自反的、可传 递的，现来分析这种关系的基本边假设（ａ，６＞∈Ｒ （６，ｆ）∈Ｒ由Ｒ是Ａ上的反自反关系，有ａ≠ｂ ｂ≠ｆ；又由Ｒ是Ａ上的传递关系，有（ａｆ）∈Ｒ并且 ｎ≠Ｃ。而｛（口６＞｝。｛（６ｃ）｝一｛＜口，ｆ）｝从而得到：如 果＜ｎ，６）（６，ｆ）是Ｒ嘚基本边则由其通过传递关系 生成的边（ａ，ｃ）必然在Ｒ２中并且ａ≠ｃ。而且所有
由两条基本边通过传递关系生成的边必然在Ｒ２中 如果有三条基本边（口，６）（ｂ，ｃ＞（ｆ，ｄ＞∈Ｒ则 由Ｒ是Ａ上的传递关系，有＜口ｆ＞∈Ｒ且口，６ｆ，ｄ互
鈈相同而 ｛（口，６））｛（ｂ，ｆ））一｛＜ａｆ＞）∈Ｒ２，． ｛（口ｆ）｝。｛（ｆｄ））一｛（ｎ，ｄ＞｝∈Ｒ３
（ｄ，ｄ＞（ｄ，Ｐ＞（ｅ，Ｐ＞）
Ｒ一厶一｛（ａ，６）＜ａ，ｆ）（ａ，ｄ＞（ａ，Ｐ＞ （ｂ，ｆ）＜ｂ，Ｐ＞（Ｃ，ｅ）（ｄ，ｅ）｝ （Ｒ―ｊＡ）２一｛（ａ，ｆ＞（口，ｅ）（ｂ，Ｐ））
ＣＫ）、厂４一｛＜口，６）（口，ｄ＞（６，ｆ）（ｃ，已）（ｄ，ｅ＞）
即由三条基本边通过传递性生成的边必然在Ｒ３中。 由ｉ条基本边通过传递关系生成的边必嘫在Ｒ 中，从而关系Ｒ的生成边为Ｒ 其基本边
ＣＯＶＡ―Ｒ―Ｒ２ Ｕ Ｒ３
Ｕ Ｒ３ Ｕ…Ｕ Ｒ”故
对于例２而言，用定义法求解ＣＯＶＡ需要比较 ８０次而如果用本文中提出的方法，仅需要比较运 算２４次数比如Ｒ一，中的序偶（口，６＞因为Ｒ―Ｌ
邹又姣，冉占軍王晓峰：偏序关系哈斯图的一种求解方法
是反自反、反对称关系，所以（６６），（６口）∈Ｒ―Ｊ。 我们无需进行相关比较，而只需要判断是否有
（６ｃ），（６ｄ＞，＜６Ｐ＞Ｅ Ｒ――ｊ＾且Ⅱ可。 参考文献
关系Ｒ中的元素越多通过这种方法计算 ＣＯＶＡ的运算量的优点越明显。
［１］左孝凌李为缢，刘永才．离散数学［Ｍ］．上海：上海科学
技术文献出版社２００４：１４０―１４１．
［２］方世昌．离散数学［Ｍ］．２版．西安：西安电子科技大学出
偏序关系是集合上的传递关系，它提供了一种
版社２００６：１０７―１０８．
［３］徐洁磐．离散数学导论［Ｍ］．２版．北京：高等教育出版
社，２０００：４０―４１．
比较集合元素间佽序的工具其哈斯图简单形象地 描述了集合间元素的关系，然而对一个给定的偏序 关系哈斯图的求解在离散数学教材中没有给出一 个簡单易执行的方法。基于此本人通过对偏序关系 的理论分析，给出了一个求解偏序关系哈斯图的简 单方法该方法运算量小，便于学生接受和掌握
［４］丁树良，罗芬．求偏序关系Ｈａｓｓｅ图的算法［Ｊ］．江西师
范大学学报：自然科学版．２００５２９（２）：１５０―１５２．
［５］潘美芹，丁志军．一个快速求解哈斯图的算法［Ｊ］．山东
科技大学学报：自然科学版．２００３２２（３）：８９―９０．
［６］范懿．一个有关哈斯图的解析方法［Ｊ］．上海第二工业大
学学报．２００３（１）：１７―２２．
Ａ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ Ｈａｓｓｅ Ｄｉａｇｒａｍ ｗｉｔｈ Ｐａｒｔｉａｌ－－ｏｒｄｅｒ Ｒｅｌａｔｉｏｎ
ＺＯＵ Ｙｏｕｊ ｉａｏ。 ＲＡＮ Ｚｈａｎｊ
（Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔＸｉ’ａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉ’ａｎ ７ １ ００４ ８ＰＲＣ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｅｄｇｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｅｄｇｅ
ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｗｉｔｈ
ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒｔｉａｌ ｏｒｄｅｒ ｒｅｌａｔｉｏｎ，ｔｈｅ Ｈａｓｓｅ ｄｉａｇｒａｍ ｉｓ ａｎａｌｙｚｅｄ ｂｙ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｅｄｇｅｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｅｄｇｅｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｈａｓｓｅ Ｄｉａｇｒａｍｐａｒｔｉａｌ ｏｒｄｅｒｉｎｇ ｒｅｌａｔｉｏｎ，ｂａｓｉｃ
ｅｄｇｅｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｅｄｇｅ
根据罗尔定理，存在ｅ∈（ｏ１），使
Ｆ７（ｅ）一ｅ５［厂（手）一（手）］一０，
洇为ｅ５≠０故必有 ／’（ｅ）一厂（∈）。 上述例题的求解过程说明“逆”用函数积求导 法则，有时候可使证明简洁因此值得思索与学习。
出版社２００９：６９．
Ｅｌｉ莫国良，唐志丰．微积分学：上册［Ｍ］．杭州：浙江大学
［２］徐兵．高等数学证明题５００例解析［Ｍ］．北京：高等教育
出版社２００７：１４－１５．
Ｒｅｖｅｒｓｉｎｇ ｔｈｅ Ｐｒｏｄｕｃｔ Ｒｕｌｅ ｆｏｒ Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ
Ｌｉｎｃｏｎｇ，ＬＩＵ Ｇｕｉｍｅｉ
（Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｃｉｔｙ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ ３１００１５ＰＲＣ）
Ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｒｕｌｅ ｆｏｒ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｒｅｖｅｒｓｅｌｙ，ｓｏｍｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ
ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｉｄｅａ ａｎｄ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｒｏｄｕｃｔ ｒｕｌｅ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ
ｂｅ ｓｏｌｖｅｄ ｅａｓｉｌｙ．Ｓｅｖｅｒａｌ ｓｕｃｈ ｅｘａｍｐｌｅｓ
ｆｏｒ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ
ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ
偏序关系哈斯图的一种求解方法
参考文献(6条) 1.左孝凌;李为
