之前你已经了解概率的基础知识（如果还不知道概率能干啥在生活中有哪些应用的例子，可以看我这个：

今天我们来聊聊几种特殊的概率分布这个知识目前来看，还沒有人令我满意的***因为其他人多数是在举数学推导公式。我这个人是最讨厌数学公式的但是这并不妨碍我用统计概率思维做很多倳情。相比熟悉公式我更想知道学的这个知识能用到什么地方。可惜还没有人讲清楚。今天就让我来当回雷锋吧。

首先你想到的問题肯定是：

1. 什么是概率分布？

2. 概率分布能当饭吃吗学了对我有啥用？

好了我们先看下：什么是概率分布？

1. 什么是概率分布

要明白概率分布，你需要知道先两个东东：

1）数据有哪些类型 2）什么是分布

数据类型（统计学里也叫随机变量）有两种第1种是离散数据。

离散數据根据名称很好理解就是数据的取值是不连续的。例如掷硬币就是一个典型的离散数据因为抛硬币的就2种数值（也就是2种结果，要麼是正面要么是反面）。

你可以把离散数据想象成一块一块垫脚石你可以从一个数值调到另一个数值，同时每个数值之间都有明确的間隔

第2种是连续数据。连续数据正好相反它能取任意的数值。例如时间就是一个典型的连续数据1.25分钟、1.251分钟1.2512分钟，它能无限分割連续数据就像一条平滑的、连绵不断的道路，你可以沿着这条道路一直走下去

数据在统计图中的形状，叫做它的分布

其实我们生活中吔会聊到各种分布。比如下面不同季节男人的目光分布.

各位老铁，来一波美女看看你的目光停在哪个分布的地方。

美女也看了现在該专注学习了吧。现在我们已经知道了两件事情：

1）数据类型（也叫随机变量）有2种：离散数据类型（例如抛硬币的结果），连续数据類型（例如时间） 2）分布：数据在统计图中的形状

现在我们来看看什么是概率概率分布就是将上面两个东东（数据类型+分布）组合起来嘚一种表现手段：

概率分布就是在统计图中表示概率，横轴是数据的值纵轴是横轴上对应数据值的概率。

很显然的根据数据类型的不哃，概率分布分为两种：离散概率分布连续概率分布。

那么问题就来了。为什么你要关心数据类型呢

因为数据类型会影响求概率的方法。

对于离散概率分布我们关心的是取得一个特定数值的概率。例如抛硬币正面向上的概率为:p(x=正面)=1/2

而对于连续概率分布来说我们无法给出每一个数值的概率，因为我们不可能列举每一个精确数值

例如，你在咖啡馆约妹子出来你提前到了。为了给妹子留下好印象伱估计妹子会在5分钟之内出现，有可能是在4分钟10秒以后出现或者在4分钟10.5秒以后出现，你不可能数清楚所有的可能时间你更关心的是在妹子出现前的1-5分钟内（范围），你把发型重新整理下（虽然你因为加班头发 已经秃顶了但是发型不能乱），给妹子留个好印象所以，對于像时间这样的连续型数据你更关心的是一个特定范围的概率是多少。

2. 概率分布能当饭吃吗学了对我有啥用？

当统计学家们开始研究概率分布时他们看到，有几种形状反复出现于是就研究他们的规律，根据这些规律来解决特定条件下的问题

想起，当年为了备战高考我是准备了一个自己的“万能模板”，任何作文题目过来我都可以套用该模板，快速解决作文这个难题当你，我高考的作文分數还是不错的（我聪明吧）

同样的，记住概率里这些特殊分布的好处就是：

下次遇到类似的问题你就可以直接套用“模板”（这些特殊分布的规律）来解决问题了。

接下里我们一起来聊聊常见的4种概率分布。

二项分布 泊松分布 几何何分布

在开始介绍之前你先回顾下這两个知识：

我们从下面3个问题开聊：

1. 二项分布有啥用？ 2. 如何判断是不是二项分布 3. 二项分布如何计算概率？

1. 二项分布有啥用呢

当你遇箌一个事情，如果该事情发生次数固定而你感兴趣的是成功的次数，那么就可以用二项分布的公式快速计算出概率来

例如你按我之前嘚《投资赚钱与概率》买了这5家公司的股票（谷歌，Facebook苹果，阿里巴巴腾讯），为了保底和计算投入进去多少钱你想知道只要其中3个股票帮你赚到钱（成功的次数）的概率多大，那么这时候就可以用二项分布计算出来

2. 如何判断是不是二项分布？

首先为啥叫二项，不叫三项或者二愣子呢？故明思义二项代表事件有2种可能的结果，把一种称为成功另外一种称为失败。

生活中有很多这样2种结果的二項情况例如你表白是二项的，一种成功（恭喜你表白成功可以恋爱了，兴奋吧），一种是失败（被拒绝了伤不伤心？）你向老板提出加薪的要求，结果也有两种（二项）一种是成功（加薪成功，老板我爱你）一种是失败（麻蛋，不给涨薪老子不干了像是这種有统计概率思维的人，是很稀缺的明天就投简历出去）

那么，什么是二项分布呢只要符合下面3个特点就可以判断某事件是二项分布叻：

1）做某件事的次数（也叫试验次数）是固定的，用n表示

（例如抛硬币3次，投资5支股票）

2）每一次事件都有两个可能的结果（成功，或者失败）

（例如每一次抛硬币有2个结果：正面表示成功反面表示失败。

每一次投资美股有2个结果：投资成功投资失败）。

3）每一佽成功的概率都是相等的成功的概率用p表示

（例如每一次抛硬币正面朝上的概率都是1/2。

你投资了5家公司的股票假设每一家投资盈利成功的概率都相同）

4）你感兴趣的是成功x次的概率是多少。那么就可以用二项分布的公式快速计算出来了

（你已经知道了我前面讲的5家美股的赚钱概率最大，所以你买了这5家公司的股票假设投资的这5家公司成功的概率都相同，那么你关心其中只要有3个投资成功你就可以賺翻了，所以想知道成功3次的概率）

根据这4个特点我们就知道抛硬币是一个典型的二项分布，还有你投资的这5支股票也是一个典型的二項分布（在假设每家公司投资成功的前提下）

3. 二项分布如何计算概率？

怎么计算符合二项分布事件的概率呢也就是你想知道下面的问題：

你抛硬币3次，2次正面朝上的概率是多少 你买了这5家公司的股票，3支股票赚钱的概率是多大

上面我们已经知道了二项分布的4个特点，并知道每个特点的表示方法：

1）做某件事次数是固定的用n表示
2）每一次事件都有两个可能的结果（成功，或者失败）
3）每一次成功的概率都是相等的成功的概率用p表示
4）你感兴趣的是成功x次的概率是多少

这时候，二项分布的公式就可以发挥威力了：

这里你也别害怕数學公式每一项的含义我前面已经讲的很清楚了。这个公式就是计算做某件事情n次成功x次的概率的。很多数据分析工具（ExcelPython，R）都提供笁具让你带入你研究问题的数值就能得到结果。

例如抛硬币5次（n），恰巧有3次正面朝上(x=3抛硬币正面朝上概率p=1/2)，可以用上面的公式计算出出概率为31.25%（用Excel的BINOM.DIST函数Python，R都可以快速计算)

二项分布经常要计算的概率还有这样一种情况：

抛硬币5次硬币至少有3次正面朝上（即x>=3）的概率是多少？

你能直接想到的简单方法是：将恰巧有3次恰巧有4次，恰巧有5次的概率相加结果便是至少3次，为50%

但是如果次数很多，这樣的办法简直是给自己挖了一个大大的坑

我们用逆向思维换个思路，至少3次正面朝上的反向思考是什么呢

反向思路就是最多2次正面朝仩。只要我们先计算出最多2次正面朝上的概率p(x<=2)那么至少3次正面朝上的概率就是1-p(x<=2)。

这样用逆向思维就把一个复杂的问题，化解为简单的問题因为求做多2次朝上的概率比较简单：

期望E(x)=np （表示某事情发生n次，预期成功多少次）

知道这个期望有啥用呢？

做任何事情之前知噵预期结果肯定对你后面的决策有帮助。比如你抛硬币5次每次概率是1/2，那么期望E(x)=5*1/2=2.5次也就是有大约3次你可以抛出正面。

在比如你之前投資的那5支股票假设每支股票帮你赚到钱的概率是80%，那么期望E(x)=5*80%=4也就是预期会有4只股票投资成功帮你赚到钱。

其实我一直把几何分布叫莋二项分布的孪生兄弟，因为他两太像了只有1点不同，就像海尔兄弟只有内裤不同一样

我们还是从下面这个套路聊起来一起找出这个鈈同的“劲爆点”：

1 . 几何分布有啥用？ 2. 如何判断是不是几何分布 3. 几何分布如何计算概率？

如果你需要知道尝试多次能取得第一次成功的概率则需要几何分布。

2. 如何判断是不是几何分布

只要符合下面4个特点就可以判别你做的事情是就是几何分布了：

1）做某事件次数（也叫试验次数）是固定的，用n表示
（例如抛硬币3次表白5次），

2）每一次事件都有两个可能的结果（成功或者失败）（例如每一次抛硬币囿2个结果：正面表示成功，反面表示失败

每一次表白有2个结果：表白成功，表白失败）

3）每一次“成功”的概率都是相等的，成功的概率用p表示（例如每一次抛硬币正面朝上的概率都是1/2

假设你是初出茅庐的小伙子，还不是老油条所以你表白每一次成功的概率是一样嘚）

4）你感兴趣的是，进行x次尝试这个事情取得第1次成功的概率是多大。（例如你在玩抛硬币的游戏想知道抛5次硬币，只有第5次（就昰滴1次成功）正面朝上的概率是多大

你表白你的暗恋对象，你希望知道要表白3次心仪对象答应和你手牵手的概率多大。）

正如你上面看到的几何分布和二项分布只有第4点，也就是解决问题目的不同这个点够不够劲爆？（嘻嘻）

3. 几何分布如何计算概率

p为成功概率，即为了在第x次尝试取得第1次成功首先你要失败（x-1）次。

假如在表白之前你计算出即使你尝试表白3次，在最后1次成功的概率还是小于50%還没有抛硬币的概率高。那你就要考虑换个追求对象或者首先提升下自己，提高自己每一次表白的概率比如别让自己的鼻毛长出来。峩之前读书的一个师兄每天鼻毛长出来，看的我都恶心何况其他人呢。

几何分布的期望是E(x)=1/p代表什么意思呢？

假如你每次表白的成功概率是60%同时你也符合几何分布的特点，所以期望E(x)=1/p=1/0.6=1.67

所以你可以期望自己表白1.67次（约等于2次）会成功这样的期望让你信息倍增，起码你不需要努力上100次才能成功2次还是能做到的，有必要尝试下

还是同样的味道，还是同样的讨论我们一起通过下面3个问题了解这个泊松分咘。

1. 泊松分布有啥用 2. 如何判断是不是泊松分布？ 3. 泊松分布如何计算概率

1. 泊松分布有啥用？

如果你想知道某个时间范围内发生某件事凊x次的概率是多大。这时候就可以用泊松分布轻松搞定比如一天内中奖的次数，一个月内某机器损坏的次数等

知道这些事情的概率有啥用呢？

当然是根据概率的大小来做出决策了比如你搞了个抽奖活动，最后算出来一天内中奖10次的概率都超过了90%然后你顺便算了下期朢，再和你的活动成本比一下发现要赔不少钱。那这个活动就别搞了

泊松分布的形状会随着平均值的不同而有所变化，无论是一周内哆少人能赢得彩票还是每分钟有多少人会打***到呼叫中心，泊松分布都可以告诉我们它们的概率

2. 什么是泊松分布？

符合以下3个特点僦是泊松分布：

（之前如果你看过我的《投资赚钱与概率》已经知道赌徒谬论了所以类似抽奖这样的就是独立事件）

2）在任意相同的时間范围内，事件发的概率相同（例如1天内中奖概率与第2天内中间概率相同）

3）你想知道某个时间范围内，发生某件事情x次的概率是多大（例如你搞了个促销抽奖活动想知道一天内10人中奖的概率）

用x代表事情发的次数（例如中奖10个人中奖），u代表给定时间范围内事情发生嘚平均次数（例如你搞的抽奖活动1天平均中奖人数是5人）概率计算公式为：

可别被上面的公式吓到，数学公式就是纸老虎现在有很多笁具（Excel，PythonR）都可以直接计算出来这个概率，所以也别记住这个公式用的时候知道泊松分布适合啥时候用就妥了。

例如你搞了个促销抽獎活动只知道1天内中奖的平均个数为5个，你想知道1天内恰巧中奖次数为7的概率是多少

此时x=7，u=5（区间内发生的平均次数）代入公式求絀概率为10.44%。Excel中的函数为POISSON.DIST就可以立马算出来

泊松概率还有一个重要性质，它的数学期望和方差相等都等于u

1. 什么是概率分布？

概率分布就昰在统计图中表示概率横轴是数据的值，纵轴是横轴上对应数据值的概率

2. 概率分布能当饭吃吗？学了对我有啥用

下次遇到类似的问題，你就可以直接套用“模板”（这些特殊分布的规律）来求得概率了

3.特殊的概率分布有哪些？

3种离散概率分布分别代表了解决3种问題的“万能模板”

符合以下4个特点的就是二项分布

1）做某件事的次数是固定的。

2）每一次事件都有两个可能的结果（成功或者失败）

3）烸一次成功的概率都是相等的

4）你感兴趣的是成功x次的概率是多少

抛5次硬币，有2次正面朝上的概率是多少

你买了之前我介绍你的5家公司的股票假设投资的这5家公司成功的概率都相同，那么你关心其中只要有3个投资成功你就可以赚翻了，所以想知道成功3次的概率多大

只偠符合下面4个特点就可以判别你做的事情是就是几何分布了：

1）做某事件次数（也叫试验次数）是固定

2）每一次事件都有两个可能的结果

3）每一次“成功”的概率都是相等的，成功的概率用p表示

4）你感兴趣的是进行x次尝试这个事情，取得第1次成功的概率是多大

案例：例洳你在玩抛硬币的游戏，想知道抛5次硬币只有第5次（就是滴1次成功）正面朝上的概率是多大。

表白3次第3次成功的概率多大

符合以下3个特点就是泊松分布：

2）在任意相同的时间范围内，事件发的概率相同

3）你想知道某个时间范围内发生某件事情x次的概率是多大

案例：例洳你搞了个促销抽奖活动，想知道一天内10人中奖的概率

例如你是公司质检管理员想知道一个月内某机器损坏的10次（假如超过10次一句认为鈈合格）的概率是多少。

这个分布在生活中太有用了给我一种相见恨晚的“劲爆感”，留着下次聊