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直观上可以理解为 给元素装配了加法和数乘的非空集合 完成定义我们拆分这句话就成： 1）非空集合 首先它是一个非空集合，我们记为 2） 给元素装配加法（元素与元素加法） 其次我们给中的元素装配上加法运算，满足4个基本属性 1, 加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w 2, 加法交换律：u + v = v + u 3, 有单位元：存在一个元素 e, 使得对任意u &isin; ，都有u + e = u, 这里e 其实是零元，一般 用0表示 4, 有逆元：对任意u &isin; ，都对应存在一个v&isin; , 使得u + v=0 3） 给元素装配数乘（数值与元素乘法） 然后给中的元素装配上数乘，满足数乘的4个基本属性(选择一个数域,记a,b为其中任意数值) 1. 数乘对元素加法满足分配律：a &middot; 数乘有单位元：存在一个数值, 使得对于任意v,都有 &middot;v = v 到此，我们有了装配了加法和数乘的非空集合，要成为空间，在定义两个运算时要包含一个硬性要求即可，这个集合对这两个运算封闭 至于为什么叫线性空间，我想是因为装配了加法和数乘这两个线性运算吧@_@线性空间是一个比较好玩的数学结构。线性算子的复合。<br/><br/> 现在考虑U到W的线性算子&psi;&phi;，题主不妨自己算一下矩阵表示~@_@. 代数含义: 以下提到的皆为 的矩阵, 为列向量. 最基本的代数含义就是矩阵乘法的定义; 考虑 , 可以把 看作 的列向量的线性组合, 因为根据矩阵乘法定义展开的话, 你会发现计算左边的结果的时候, 的第 n 列前面的系数就是 的第 n 行. 如果考虑, 那么可以把 看作 的行向量的线性组合. 引申一下, 把扩充成矩阵, 则对于 , 则可以把中的每一列看成中列向量的线性组合, 系数为 中的每一列. 当然了, 也可以把 中的行向量看作是中行向量的线性组合，系数为 中的每一行; 考虑 , 既然可以把 看作 的列向量的线性组合的话, 那么如果 的列向量为线性空间 V 的一组基，则 可以看作向量 在那组基上的坐标. 当然了, 注意到, 所以所谓的向量 其实指的是向量 在单位阵作为基时候的坐标, 也就是说其实不存在一种绝对的, 独立于基的向量的表示方式, 只是一般默认为单位阵为基而已; 继续考虑, 也可以把 算作线性变换算子, 将向量 的各个维度上的坐标进行缩放和组合，将向量映射为向量 . 称 为 在变换 下的像， 为 的原像。