摘 要：围绕中值定理、函数的连续性、微分概念、重要极限、夹逼准则、弹性、拐点、极值等有关知识，探讨微积分知识在实际生活中的广泛应用，进一步揭示微积分与实际生活的密切联系，为应用微积分知识解决实际问题，建立数学模型，奠定了一定的理论基础。
　　关键词：微积分；生活；应用
　　一、中值定理在生活中的应用
　　[问题] 如果你驾车在一条限速为100公里/小时的公路上行驶，监控仪证明你在半个小时内跑了60公里，那么***会给你开一张超速罚单吗？
　　[预备知识] 拉格朗日中值定理：在闭区间[a，b]上连续；在开区间（a，b）内可导。 结论：在（a，b）内至少存在一点ξ（a 100公里/小时，也就是超速了。
　　二、函数连续性在生活中的应用
　　[问题] 人的相貌在一分钟内看不出有什么区别，但从孩童到老年相貌却差异很大，怎么解释这一现象呢？
　　[预备知识] 设函数f（x）在Uδ（x0）内有定义，如果当自变量的增量Δx趋向于零时，对应于函数的增量Δy也趋向于零，即Δy=0。
　　[应用] 人的生长是连续的，在一分钟内也就是自变量的改变很小时，人的相貌也就是函数的改变量也会很小。
　　客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性。
　　三、微分概念在生活中的应用
　　[问题] 地球形状明明是圆的，为什么古时候的人们以为地球是方的？
　　[预备知识] 如果函数z=f（x，y）在点（x，y）的全增量Δz=
　　f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o（ρ），其中A，B不依赖于Δx，Δy而仅与x，y有关，则称函数z=f（x，y）在点（x，y）可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f（x，y）在点（x，y）的全微分，记为dz，dz=AΔx+BΔy。
　　[应用]根据全微分定义，有Δz≈dz即Δz≈fx（x，y）Δx+
　　fy（x，y）Δy，即全微分的几何意义是：微分是实现增量线性化的一种数学模型，即微分函数的实质：局部像个平面。当可微函数的自变量改变很小时，函数增量可以近似看作一个二维线性函数——平面。所以古时候在人的肉眼范围内（自变量改变很小），人们认为函数的增量——地球表面是平的。
　　四、重要极限在生活中的应用
　　[问题] 要洗一件衣服，先用水和洗涤剂把衣服洗涤，拧一下，然后再把衣服漂清。由于不能拧得干干净净，衣服上仍带有含污物的的水。设衣服上残存的污物量为 m0（包括洗涤剂），残存水量为w，我们还有一桶清水，水量为A。问怎样合理地使用这一桶清水，尽可能地把衣服洗干净？还有衣服能彻底洗干净吗？
　　[预备知识] 重要极限：1+x=e
假设把一桶水分成n次使用，每次用量分别为a1，a2，…an，用mi（i=0，1，2，…n）表示第i次洗涤后衣服上残留的污物量。那么=，则n次洗涤后衣服上残存的污物量为mn=，由于mn≤{[（1+）+（1+）+…+（1+）]}n=（1+）n，因此把水量等分，可以使污物的残余量最少，而且分的次数越多，洗的越干净。但残留物不会完全没有，因为利用重要极限（1+）n=e，即n趋于无穷大时，污物量趋于e。
　　五、极限夹逼准则在生活中的应用
　　[问题] 同学们在上完最后一节课后，肚子饿得直响，迫不及待地冲出教室飞奔食堂，以为可以抢先打到饭，没想到已排上了长队，自己也就只好排在后面，但后来的同学越来越多，为什么不用思考还有多远轮到自己打饭，就被前后的同学“挟持”到了师傅跟前。
　　（夹逼准则）：如果数列xn，yn及zn满足下列条件：（1）yn≤xn≤zn（n=1，2，3…）；（2）yn=a，zn=a那末数列xn的极限存在， 且xn=a。
　　[应用] 先在黑板上画两条与轴线垂直的直线，代表两个垂直于黑板平面的平面，从左到右分别记yn，zn，假设有一点a固定，yn，zn都向a无限接近，那么在yn，zn之间任意位置放入一平面xn，它都会被迫向a趋近，这就是形象的夹逼定理。其中xn就是某同学自己，排在其前后的同学就是yn和zn，打饭的师傅就是确定的a。
　　六、弹性在生活中的应用
　　[问题] 商场定期推出打折让利活动，那么最终获利的是谁呢？高档奢侈品价格越来越高，商家是怎么想的呢？
　　[预备知识]设函数y=f（x）可导，函数的相对改变量=与自变量的相对改变量之比，称为函数f（x）在x与x+Δx两点间的弹性（或相对变化率）。而极限称为函数f（x）在点x处的弹性（或相对变化率），记为f（x）。
　　[应用] 函数f（x）在点x的弹性反映随x的变化f（x）变化幅度的大小，即f（x）对x变化反应的强烈程度或灵敏度。商场里的大众商品富于弹性，降价能极大地促进销售量，进而总利润增加；而奢侈品缺乏弹性，提高价钱对销售量影响不大，故商家不肯轻易降价。
　　七、拐点在生活中的应用
　　[问题] 人们投资股票市场的目标无疑是低买高卖，但是，这种对股票时机的把握是难以捉摸的，因为我们不可能准确预测股市的趋势。当投资者刚意识到股市确实在上涨（或下跌）时，局部最低点（或局部最高点）早已过去了。那么怎么把握这种趋势呢？
　　[预备知识] 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。
　　[应用] 拐点为投资者提供了在逆转趋势发生之前预测它的方法，因为拐点标志着函数增长率的根本改变。以拐点或其附近处的价格购进股票能使投资者呆在较长期的上扬趋势中，降低了因股市的浮动给投资者带来的风险。
　　[1] 吴赣昌.概率论与数理统计[M].北京：中国人民大学出版社，2011.
　　[2] 王洪英，车军领.微积分学中极限教学法探讨[J].山东师范大学学报：自然科学版，2008，（3）.

一直有认识的人学弟学妹向我抱怨微积分有多折磨人，除了脑袋里会冒出好多个问号及感叹号后 ，还有在考前给一些孩子补课的经验。想把我学**结出的微积分学习技巧利用这个绵长的假期更新到咱们有爱的西吧。希望 能对被这门我很爱的学科困扰着的学弟学妹们，起到一点点的帮助。

1 学长高数课程已经结束。这次发帖内容均来自当年我精心整理的笔记。有图为证。本人很喜欢数学，成绩一直不错。如果内容哪些有问题，也欢迎留言交流。

2 我尽量按照教学大纲整理完全八个模块（函数极限连续；一元函数微分学；二元函数微分学；常微分方程；向量代数和空间解析几何；多元函数微分学；多元函数积分学；无穷级数） 有空就更 希望寒假可以更完。

3 注明：星君总结的是技巧，即为解题技巧。按照出题套路总结出答题套路。所以虽尽量全面，但有些课本上有的概念可能就不写上了。如是真心爱好数学的同学，建议认真钻研课本，毕竟那才是真理。

4 因为之前没有做过关于数学的文档，这次做这个认真实验了两天的WORD和MATHtype ，因为符号繁杂 弄出来的结果 - -还是不太尽人意的。先发一些吧。如果有同学有更好的排版经验，谢谢大家留言分享。